Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

∑
+=
−
+++
n
mi
i
i
m
m
m
m
xyCxvCxuC
12
)()(
2
)(
12
)()()( . (12.34)
Чтобы записать общее решение (12.34) системы (12.2) в скалярном виде можно воспользоваться формулой (12.34) или, в
силу (11.8) умножить фундаментальную матрицу
)(Y x системы (12.2), соответствующую ФСР (12.33), на вектор-столбец
()
T
21
, ... , ,C
n
CCC= свободных параметров.
Среди корней (12.11) характеристического уравнения системы (12.2) могут быть кратные корни. Известно [1.4, с. 98],
что корню λ кратности
r
характеристического уравнения системы (12.2) отвечают
r
линейно независимых на
Ρ
решений
системы (12.2) вида
xii
exPy
λ
= )(
)()(
, ri ≤≤1 , (12.35)
где
()
T
)(
)(
2
)(
1
)(
)( , ... ),( ),()( xPxPxPxP
i
n
ii
i
= – вектор-столбец, компонентами которого являются вполне определённые
многочлены степени не выше
1−
r
. Если решения (12.35) являются комплекснозначными (т.е. если
β
+
α=λ i , β−α=λ i
являются корнями кратности
r
характеристического уравнения системы (12.2)), то, как и в случае простых комплексных
корней, нужно выделить действительную и мнимую части этих решений.
Находя для каждого корня из (12.11) по вышеуказанным правилам соответствующую группу решений системы (12.2)
(при этом каждый комплексный корень
β
+α=λ i надо рассматривать в паре с сопряжённым ему корнем β−α=λ i ) и
объединяя эти группы решений, получаем в силу (12.12) n линейно независимых решений системы (12.2), т.е. получаем ФСР
)(
)1(
xy
,
)(
)2(
xy
, … ,
)(
)(
xy
n
системы (12.2). Зная ФСР, находим общее решение системы (12.2) по формуле (10.8).
Пример 12.2. Найдём общее решение однородной системы
−−=
′
−−=
′
−−=
′
, 15616
, 15718
, 19821
3213
3212
3211
yyyy
yyyy
yyyy
(12.36)
где )(
11
xyy = , )(
22
xyy = , )(
33
xyy = – неизвестные функции.
Решение. Найдём собственные значения матрицы
−−
−−
−
−
=
15616
15718
19821
A
системы (12.36), т.е. найдём корни характеристического уравнения
0
15616
15718
19821
=
λ−−−
−λ−−
−
−
λ
−
. (12.37)
Раскрывая определитель в левой части (12.37) и умножая получаемое уравнение на 1
−
, приходим к кубическому уравнению
01
23
=+λ+λ+λ , которое можно записать в виде 0)1()1(
2
=+λ+λ . Следовательно, характеристическое уравнение (12.37)
имеет три простых корня
1−=λ , i=
λ
,
i−=λ
. Найдём для корня 1
−
=
λ
соответствующее решение системы (12.36). Для
этого вначале найдём ненулевое решение системы вида (12.9) :
=+−+−
=−+−+
=−−+
. 0)115(616
, 015)17(18
, 0198)121(
321
321
321
www
www
www
=−−
=−−
=−−
⇔
. 0738
, 0526
, 019822
321
321
321
www
www
www
(12.38)
Так как 1−=λ – корень характеристического уравнения (12.37), то определитель матрицы системы (12.38) равен нулю, т.е.
ранг матрицы системы (12.38) меньше трёх. Найдём базисный минор этой матрицы:
011514
73
52
32
32
≠−=−=
−−
−−
=
M . (12.39)
Следовательно, минор (12.39) является базисным; в качестве базисных неизвестных берём
2
w ,
3
w ; в качестве свободной
неизвестной –
1
w .
Тогда систему (12.38) можно записать в виде

Страницы