Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

α=+
α=+
∈αα=
. 873
, 652
, ,
32
32
1
ww
ww
w Ρ
Положим 1=α . Тогда
=+
=+
, 873
, 652
32
32
ww
ww
откуда 2
2
−=w , 2
3
=w . Итак, в качестве собственного вектора матрицы A , отвечающего собственному значению 1
−
=
λ
,
можно взять вектор
T
)2 ;2 ;1( −=w
. Тогда, согласно формуле (12.3), корню 1
−
=
λ
соответствует решение
()
T
T
2 ;2 ;)2 ;2 ;1()(
xxxx
eeeexy
−−−−
−=−= (12.40)
системы (12.36). Найдём для пары простых комплексно сопряженных корней i
=
λ
, i−=λ соответствующую пару
вещественных решений
)(xu , )(xv системы (12.36). Для этого подставим значение i
=
λ
в систему (12.9) :
=−−+−
=−−−+
=−−−
. 0)15(616
, 015)7(18
, 0198)21(
321
321
321
wiww
wwiw
wwwi
(12.41)
Взяв в качестве базисных неизвестных
222
ν
+µ= iw ,
333
ν
+
µ
=
iw и полагая свободную неизвестную
111
ν
+
µ
=
iw равной
единице (т.е.
1
1
=µ , 0
1
=ν ), получаем из второго и третьего уравнений системы (12.41)
(
)
(
)
() ()
=ν+µ++ν+µ
=ν+µ+ν+µ+
. 61)15(6
, 8115)7(
3322
3322
iii
iii
(12.42)
Решая систему (12.42), получаем
5
6
2
=µ ,
5
3
2
−=ν ,
5
3
3
=µ ,
5
1
3
=ν . Тогда
()
T
T
321
5
1
5
3
;
5
3
5
6
;1 , ,
+−== iiwwww
.
Чтобы не иметь дела с дробями, перейдём от вектора w к вектору
()
T
3 ;36 ;55
~
iiww +−== (это можно сделать, ибо если
ww λ=A
, то для
∀
Ρ∈α , 0≠α⇒ )()(A ww
α
λ=α ). Для этого вектора 5
~
1
=
µ
, 0
~
1
=
ν
, 6
~
2
=µ , 3
~
2
−=ν , 3
~
3
=
µ
, 1
~
3
=
ν
.
По формулам (12.22), (12.23) получаем
T
)sincos3 ,sin3cos6 ,cos5()( xxxxxxu −+= ; (12.43)
T
)sin3cos ,sin6cos3 ,sin5()( xxxxxxv ++−= . (12.44)
Объединяя решения (12.40), (12.43), (12.44), получаем ФСР системы (12.36) :
(
)
T
)1(
2 ,2 ,
xxx
eeey
−−−
−=
;
T)2(
)sincos3 ,sin3cos6 ,cos5( xxxxxy −+=
;
T)3(
)sin3cos ,sin6cos3 ,sin5( xxxxxy ++−= .
Общее решение системы (12.36) имеет вид
(
)
)3(
3
)2(
2
)1(
1
T
321
, , yCyCyCyyyy ++== , (12.45)
где
1
C ,
2
C ,
3
C – свободные параметры.
В скалярной форме записи общее решение (12.45) имеет вид
()()
()( )
+−+++=
++−+−=
++=
−
−
−
.sin3cos32
,sin63cos362
,sin5cos5
323213
323212
3211
x CCxCCeCy
x CCxCCeCy
x CxCeCy
x
x
x

Страницы