Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

()
)( , ... ),( ),(
**2*1
*
tytytyM
n
фазовой траектории
*
L (в этом случае интегральную кривую
*
L называют устойчивой фазовой
траекторией). Устойчивая фазовая траектория для случая
2
=
n изображена на рис. 13.1.
Рис. 13.1
Решение
)(
*
ty системы (13.1) называется неустойчивым (по Ляпунову), если
∃
0>ε 0 | >δ∀
∃
решение )(
~
ty
системы (13.1), удовлетворяющее условию
δ<− )()(
~
0
*
0
tyty , такое, что при некотором
[
),
01
∞∈ tt выполняется
ε≥− )()(
~
1
*
1
tyty .
Среди устойчивых решений выделяют асимптотически устойчивые решения. Решение
)(
*
ty системы (13.1) называется
асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и, кроме того,
∃
| 0)(
00
>
ε
δ
=
δ
для любого решения )(ty системы
(13.1), удовлетворяющего неравенству
*
000
() ()yt y t−<δ выполняется условие
*
lim ( ) ( ) 0
t
yt y t
→+∞
−
=
. (13.6)
Таким образом, тот факт, что решение )(
*
ty системы (13.1) является асимптотически устойчивым, означает, по
определению, следующее: если начальная точка
0
M фазовой траектории L решения )(ty системы (13.1) достаточно близка к
начальной точке
*
0
M фазовой траектории
*
L решения )(
*
ty , то, во-первых, для каждого
[
)
∞+
∈
,
0
tt соответствующая точка
M фазовой траектории L достаточно близка к точке
*
M фазовой траектории
*
L , и, во-вторых,
()
0,
*
→ρ MM при
+
→t ,
т.е. при достаточно больших значениях
t
точки фазовой траектории L сколь угодно близки к соответствующим точкам
фазовой траектории
*
L .
Исследование на устойчивость данного решения
)(
*
ty системы (13.1) сводится к исследованию на устойчивость
тривиального (нулевого) решения некоторой вспомогательной нормальной системы дифференциальных уравнений,
получаемой из системы (13.1).
Действительно, рассмотрим вспомогательную неизвестную вектор-функцию,
()
T
21
)( , ... ),( ),()( txtxtxtx
n
= ,
определяемую формулой
)()()(
*
tytytx −= , т.е. )()()(
*
tytytx
iii
−
=
, ni
≤
≤
1 . Тогда
)()()(
*
tytxty += . (13.7)
Учитывая, что
)(
*
ty
– решение системы (13.1), получаем
()
** *
() () () () () () ,yt xt yt xt yt xt f ty
′′

′′′
=+ =+ =+

.
Тогда в силу (13.1), (13.7)
(
)
(
)
**
,,)( yxtfytftx +=+
′
или
),( xtFx
=
′
, (13.8)
где
()()
**
, ,),( ytfyxtfxtF −+= .
Нормальная система дифференциальных уравнений (13.8) называется системой уравнений возмущённого движения.
Решение
)(
*
xy системы (13.1), проверяемое на устойчивость, называется невозмущённым движением, а переменные
)(
11
txx = , )(
22
txx = , … , )(txx
nn
= – возмущениями.
Замечание 13.3. Нулевая вектор-функция
(
)
T
*
0 , ... ,0 ,0)( =Θ≡tx является решением системы (13.8) (такое решение
называется тривиальным).

Страницы