Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Если тривиальное решение Θ≡)(
*
tx системы (13.8) является асимптотически устойчивым, то, во-первых, фазовая
траектория L не выходит за пределы взятой
ε -окрестности точки )0,0(
=
Θ
и, во-вторых, 0),( →Θ
ρ
M при
∞
+
→t
.
Рассмотрим неоднородную систему линейных дифференциальных уравнений
)()(A tfyty +
=
′
, (13.11)
где
()
T
21
)( , ... ),( ),()( tytytytyy
n
== – неизвестная вектор-функция независимой переменной
[
)
∞
+
∈
,
0
tt ;
)(tyy
′
=
′
()
T
21
)(, ... ),( ),( tytyty
n
′′′
=
– её производная;
=
)(tf
(
)
T
21
)( , ... ),( ),( tftftf
n
– вектор-столбец свободных членов;
()
,1
A( ) ( )
n
ij
ij
tat
=
=
– матрица системы (13.11).
Предположим, что элементы
)(ta
ij
( nji ≤≤ ,1 ) матрицы )(A t и компоненты )(tf
i
( ni ≤≤1 ) вектор-столбца )(tf
непрерывны на полуоси
[
)
∞+ ,
0
t .
Пусть требуется проверить на устойчивость решение
)(
*
ty системы (13.11). Запишем соответствующую систему
уравнений возмущённого движения. Для этого положим
)()()(
*
tytxty += , где )(tx – вспомогательная неизвестная вектор-
функция. Учитывая, что
)(
*
ty – решение системы (13.11), получаем
** *
() () () () () () A() () ()yt xt yt xt yt xt tyt ft
′′

′′′
=+ =+ =+ +

.
Тогда система (13.11) принимает вид
(
)
**
() A() () () A() () () ()
x
ttytfttxtytft
′
++=++,
или
**
() A() () () A() () A() () ()
x
ttytfttxttytft
′
++=++,
откуда
xtx )(A
=
′
. (13.12)
Итак, системой уравнений возмущённого движения для системы (13.11) является соответствующая ей однородная система
(13.12).
Замечание 13.5. Устойчивость решения )(
*
ty неоднородной системы (13.11) равносильна устойчивости тривиального
решения
Θ≡)(
*
tx соответствующей однородной системы (13.12) (см. замечание 13.4).
Неоднородная система (13.11) называется устойчивой, если каждое её решение устойчиво.
Замечание 13.6. Устойчивость неоднородной системы (13.11) равносильна устойчивости тривиального решения
Θ≡)(
*
tx соответствующей однородной системы (13.12) (см. замечание 13.5).
Неоднородная система (13.11) называется неустойчивой, если каждое её решение неустойчиво.
Неоднородная система (13.11) называется асимптотически
устойчивой, если каждое её решение асимптотически устойчиво.
Замечание 13.7. Асимптотическая устойчивость неоднородной системы (13.11) равносильна асимптотической
устойчивости тривиального решения
Θ≡)(
*
tx соответствующей однородной системы (13.12).
Так как однородная система (13.12) является частным случаем неоднородной системы, то справедливы следующие
замечания.
Замечание 13.8. Устойчивость однородной системы (13.12) равносильна устойчивости её тривиального решения
Θ≡)(
*
tx .
Замечание 13.9. Асимптотическая устойчивость однородной системы (13.12) равносильна асимптотической
устойчивости её тривиального решения
Θ≡)(
*
tx .
Итак, исследование на устойчивость неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений сводится к задаче
исследования на устойчивость тривиального решения соответствующей однородной системы. В случае переменных
элементов матрицы системы (13.12) такая задача является сложной. Поэтому ограничимся рассмотрением однородной
системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
xx A
=
′
, (13.13)
где
()
T
21
)( , ... ),( ),()( txtxtxtxx
n
== – неизвестная вектор-функция независимой переменной
[
)
∞+∈ ,
0
tt ;
()
,1
A
n
ij
ij
a
=
–
матрица системы (13.13) с постоянными элементами
Ρ
∈
ij
a ( nji
≤
≤
,1 ).
Матрица
A системы (13.13) называется устойчивой, если действительная часть каждого корня
p
λ
λ
λ
, ... , ,
21
характеристического уравнения
0)EA(det =λ− этой системы отрицательна:
0Re
<
λ
i
, pi ≤≤1 . (13.14)

Страницы