Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Геометрически условие (13.14) означает, что все корни характеристического уравнения системы (13.13) расположены в
левой комплексной полуплоскости
{}
|Re 0zz
−
=∈ <CC
.
Сформулируем критерий устойчивости тривиального решения системы (13.13) [1.1, с. 243].
Теорема 13.1. Для асимптотической устойчивости тривиального решения Θ≡)(
*
tx системы (13.13) необходимо и
достаточно, чтобы матрица
A этой системы была устойчивой.
Следствие 13.1. Если действительная часть хотя бы одного из корней характеристического уравнения системы (13.13)
неотрицательна, то тривиальное решение
Θ≡)(
*
tx этой системы не является асимптотически устойчивым.
Чтобы сделать вывод о характере тривиального решения системы (13.13) (о его устойчивости или неустойчивости) в
случае, когда среди корней характеристического уравнения этой системы нет корней с положительными действительными
частями, но хотя бы один из этих корней имеет действительную часть, равную нулю, требуется дополнительное
исследование [1.4, с. 133].
Раскрывая определитель в левой части характеристического уравнения (12.10) системы (13.13), получаем
алгебраическое уравнение n-й степени с действительными коэффициентами
0...
1
1
1
=+λ++λ+λ
−
−
nn
nn
aaa
. (13.15)
Если удаётся найти все корни характеристического уравнения (13.15), то выполнимость условий (13.14) проверяется
непосредственно. Однако, корни алгебраического уравнения n-й степени находятся легко лишь в случае
2
=
n и некоторых
частных случаях при
3≥n . При 3=n , 4
=
n известны формулы для нахождения корней [2.3,
с. 234], однако эти формулы настолько громоздки, что их применение затруднительно. Более того, Абель доказал, что при
5≥n не существует формул, выражающих корни алгебраического уравнения n-й степени через его коэффициенты [2.5, с.
240]. Поэтому, чтобы использовать теорему 13.1 в приложениях, надо знать условия, при которых матрица
A системы
(13.13) является устойчивой, не использующие конкретного вида корней характеристического уравнения. Такие условия
были найдены Раусом и Гурвицем.
Построим квадратную матрицу размера nn
× следующим образом: на её главной диагонали запишем по порядку n
коэффициентов
n
aaa , ... , ,
21
характеристического уравнения (13.15); в j -й строке ( nj ≤
≤
1 ) при движении влево от
диагонального элемента запишем последовательно коэффициенты
kj
a
+
, jnk
−
≤
≤
1 (если при такой записи останутся
свободные позиции, то заполняем их нулями), а при движении вправо от диагонального элемента запишем последовательно
коэффициенты
kj
a
−
, jk ≤≤1 , учитывая, что 1
0
=a (если при такой записи останутся свободные позиции, то заполняем их
нулями). В результате получаем матрицу вида
()
1
321
54321
,1
12
10000...00 0 0
100...00 0 0
1...0 0 0 0
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
000000...0
000000...00 0
n
ij
ij
nn n
n
a
aaa
aaaaa
aa a
a
=
−−




Γ= γ =






.
Построенная матрица Г называется матрицей Гурвица, порождённой характеристическим уравнением системы (13.13).
Главным диагональным минором k-го порядка матрицы Г называется её минор k-го порядка, составленный из элементов,
расположенных на пересечении первых k строк и первых k столбцов этой матрицы:
kkkk
k
k
k
k
k
MM
γγγ
γγγ
γγγ
=
=
...
............
...
...
...21
...21
21
22221
11211
.
Справедливо следующее утверждение, называемое теоремой (или критерием) Рауса-Гурвица [2.1, с. 97].
Теорема 13.2. Для устойчивости матрицы A системы (13.13) необходимо и достаточно, чтобы все главные
диагональные миноры матрицы Гурвица, порождённой характеристическим уравнением этой системы, были положительны:
0
11
>
=
aM , 0
1
23
1
2
>=
aa
a
M
, … , 0>
n
M . (13.16)
Условия (13.16) называются условиями Рауса-Гурвица.
Вернёмся к исследованию на устойчивость решения
)(
*
ty системы (13.1). Как было установлено выше (см. замечание
13.4) устойчивость решения
)(
*
ty системы (13.1) равносильна устойчивости тривиального решения Θ≡)(
*
tx системы
уравнений возмущённого движения (13.8), в котором
(
)
(
)
**
,,),( ytfyxtfxtF −+= . (13.17)

Страницы