Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В силу теоремы 13.1 для асимптотической устойчивости тривиального решения Θ≡)(
*
tx первого приближения (13.22)
для системы (13.18) необходимо и достаточно, чтобы матрица Якоби правых частей уравнений системы (13.18) в точке
Θ
была устойчивой.
Справедливо следующее утверждение, называемое теоремой Ляпунова об устойчивости по первому приближению [1.4,
с.136].
Теорема 13.3. Пусть правые части системы уравнений возмущённого движения (13.20) непрерывны вместе со своими
частными производными до второго порядка включительно в некоторой окрестности точки
()
0 , ... ,0 ,0=Θ . Тогда, если
матрица B системы уравнений первого приближения (13.22) для системы (13.20) устойчива, то тривиальное решение
Θ≡)(
*
tx системы (13.20) асимптотически устойчиво.
Справедливо также следующее утверждение [1.1, с. 246].
Теорема 13.4. Если хотя бы один из корней характеристического уравнения системы уравнений первого приближения
(13.22) имеет положительную действительную часть, то тривиальное решение системы уравнений возмущённого движения
(13.20) неустойчиво.
Теоремы 13.3, 13.4 не охватывают ситуации, когда среди корней характеристического уравнения системы уравнений
первого приближения (13.22) нет корней с положительными действительными частями, но хотя бы один из этих корней
имеет действительную часть, равную нулю. В этом случае на основе анализа системы уравнений первого приближения не
удаётся сделать вывод о характере тривиального решения системы уравнений возмущённого движения (о его устойчивости
или неустойчивости). Требуется дополнительное исследование [1.4, с. 138]. По этой причине такой случай называется
критическим.
Пример 13.1. Исследуем на устойчивость тривиальное решение 0)(
1
≡
tx , 0)(
2
≡
tx системы уравнений возмущённого
движения
−+−=
′
+−+−=
′
. 1tg
, 2
1
22
2
2
2
1211
x
exx
xxxxx
(13.23)
Решение. Запишем систему уравнений первого приближения для системы (13.23). Для этого найдём матрицу Якоби
правых частей уравнений системы (13.23) в точке
)0,0(
=
Θ , т.е. матрицу
0
0
2
2
1
2
2
1
1
1
2
1
B
=
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
x
x
x
F
x
F
x
F
x
F
.
Имеем:
(
)
2
2
2
1212111
2, xxxxxxFF +−+−== ,
(
)
1tg,
1
22122
−+−==
x
exxxFF ;
1
1
1
22 x
x
F
−−=
∂
∂
, 2
0
0
1
1
2
1
−=
∂
∂
=
=
x
x
x
F
;
2
2
1
21 x
x
F
+=
∂
∂
, 1
0
0
2
1
2
1
=
∂
∂
=
=
x
x
x
F
;
1
1
2
x
e
x
F
=
∂
∂
, 1
0
0
1
2
2
1
=
∂
∂
=
=
x
x
x
F
;
2
2
2
2
cos
1
x
x
F
−=
∂
∂
,
1
0
0
2
2
2
1
−=
∂
∂
=
=
x
x
x
F
.
Следовательно,
−
−
=
11
12
B
и система уравнений первого приближения имеет вид
−=
′
+−=
′
.
, 2
212
211
xxx
xxx
(13.24)
Запишем характеристическое уравнение системы (13.24) :
0
11
12
=
λ−−
λ
−
−
. (13.25)
Раскрывая определитель в левой части (13.25), получаем квадратное уравнение
013
2
=+λ+λ ,
имеющее два различных вещественных корня

Страницы