Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Поэтому осталось выяснить условия, при выполнении которых тривиальное решение системы уравнений возмущённого
движения устойчиво.
Пусть правые части уравнений системы (13.8) не зависят в явном виде от
t
, т.е. система (13.8) имеет вид
)(xFx
=
′
(13.18)
(такую систему называют автономной или динамической). Например, если исходная система (13.1) автономна, т.е. имеет вид
)( yfy =
′
, то из (13.17) видно, что система уравнений возмущённого движения тоже автономна.
В силу (13.17)
Θ
=
Θ
)(F . (13.19)
В скалярной форме система (13.18) имеет вид
(
)
()
()
=
′
=
′
=
′
. , ... , ,
.....................................
; , ... , ,
; , ... , ,
21
2122
2111
nnn
n
n
xxxFx
xxxFx
xxxFx
(13.20)
Пусть каждая из правых частей уравнений системы (13.20) имеет частные производные по всем аргументам в некоторой
окрестности нулевой точки
(
)
0 , ... ,0 ,0=Θ , причём все эти частные производные непрерывны в точке Θ . Известно [2.3, с.
503], что если функция
(
)
n
xxxfu , ... , ,
21
= имеет частные производные по всем аргументам в некоторой окрестности точки
()
012
, , ... ,
n
M
xx x
oo o
, причём все эти частные производные непрерывны в точке
0
M , то данная функция дифференцируема в
точке
0
M , т.е. её полное приращение в точке
0
M представимо в виде
()( )
)(...
000
2
2
1
1
0
ρ+∆
∂
∂
++∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=− ox
x
u
x
x
u
x
x
u
MuMu
n
M
n
MM
,
где
o
iii
xxx −=∆
, ni ≤≤1 ,
()()
()
1
2
22
2
12
...
n
xx x

ρ= ∆ + ∆ + ∆

,
)(
ρ
o
– бесконечно малая величина более высокого порядка по
сравнению с
ρ при
0→ρ
, т.е.
[
]
0/)(lim
0
=ρρ
→ρ
o . В нашем случае с учётом того, что
0)( =
Θ
j
F
(см. (13.19)),
0=
o
i
x
, ni
≤
≤
1 ,
получаем для
∀ nj ≤≤1
()
)(... , ... , ,
2
2
1
1
21
ρ+
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
=
ΘΘΘ
jn
n
jjj
nj
ox
x
F
x
x
F
x
x
F
xxxF
.
В результате система (13.20) принимает вид
ρ+
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
=
′
ρ+
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
=
′
ρ+
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
=
′
ΘΘΘ
ΘΘΘ
ΘΘΘ
.)(...
......................................................................................
,)(...
,)(...
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
nn
n
nnn
n
n
n
n
n
ox
x
F
x
x
F
x
x
F
x
ox
x
F
x
x
F
x
x
F
x
ox
x
F
x
x
F
x
x
F
x
(13.21)
Если в правых частях уравнений системы (13.21) отбросить слагаемые
)(ρ
j
o
, nj
≤
≤
1 , то получим однородную систему
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами вида
xx B
=
′
, (13.22)
где
Θ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
n
nnn
n
n
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
...
...........................
...
...
B
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
.
Матрица B называется матрицей Якоби правых частей уравнений системы (13.20) в точке
Θ
.
Система (13.22) называется первым (линейным) приближением для системы (13.18) или системой уравнений первого
приближения.

Страницы