Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 67 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

Замечание 13.4. Устойчивость решения )(
*
ty системы (13.1) равносильна устойчивости тривиального решения
Θ)(
*
tx системы (13.8).
Действительно, пусть решение
)(
*
ty системы (13.1) устойчиво, т.е. для любого решения )(ty , удовлетворяющего
условию (13.4), выполняется неравенство (13.5). Учитывая, что
)()()(
00
*
0
txtyty =
,
)()()(
*
txtyty =
, получаем: для
любого решения
)(tx системы (13.8), удовлетворяющего условию
00
() ()xt xt
=
−Θ <δ,
выполняется неравенство
() ()xt xt=−Θ<ε,
[
)
+
,
0
tt ,
а это означает, по определению, что тривиальное решение Θ)(
*
tx системы (13.8) устойчиво.
Пусть тривиальное решение
Θ)(
*
tx системы (13.8) устойчиво, т.е. для
0>
ε
| 0) ,(
0
>εδ=δ t для любого
решения
)(tx системы (13.8), удовлетворяющего условию
00
() ()xt xt
Θ= <δ, (13.9)
выполняется неравенство
() ()xt xt
Θ= <ε
,
[
)
+ ,
0
tt . (13.10)
Так как )()()(
*
tytytx = и )(
*
ty фиксированное решение системы (13.1), то вышесказанное можно выразить в
следующем виде: для
0>ε | 0) ,(
0
>εδ=δ t для любого решения )(ty системы (13.1) удовлетворяющего условию
*
00
() ()yt y t−<δ, выполняется неравенство
*
() ()yt y t
,
[
)
+
,
0
tt , а это означает, по определению, что решение
)(
*
ty
системы (13.1) является устойчивым.
Дадим геометрическую иллюстрацию устойчивости тривиального решения
Θ)(
*
tx системы (13.8) для случая 2
=
n .
Тривиальное решение
Θ)(
*
tx
изображается на фазовой плоскости точкой
Θ
(началом координат). Условие (13.9)
означает, что начальная точка
()
)( ),(
02010
txtxM фазовой траектории L решения )(tx системы (13.8) находятся в
δ
-
окрестности точки
Θ . Условие (13.10) означает, что при каждом
[
)
+
,
0
tt соответствующая точка
(
)
)( ),(
21
txtxM
фазовой траектории L принадлежит
ε
-окрестности точки
Θ
. Таким образом, тривиальное решение Θ)(
*
tx системы (13.8)
является устойчивым, если для
)(Θ
ε
O )(
Θ
δ
O , | )(
ε
δ
=
δ
для любого решения )(tx системы (13.8), для которого
начальная точка
)(
0
Θ
δ
OM , фазовая траектория этого решения не выходит за пределы взятой
ε
-окрестности точки
Θ
(рис. 13.2).
Рис. 13.2