Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Лекция 13. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
Понятие устойчивого и неустойчивого решения нормальной системы дифференциальных уравнений, асимптотически
устойчивое решение, связь между устойчивостью невозмущённого движения и устойчивостью тривиального решения
системы уравнений возмущённого движения, связь между устойчивостью решения неоднородной системы линейных
дифференциальных уравнений и устойчивостью тривиального решения соответствующей однородной системы, критерий
устойчивости тривиального решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами, проверка матрицы на устойчивость (критерий Рауса-Гурвица), система уравнений первого приближения
для автономной системы уравнений возмущённого движения, теорема Ляпунова об устойчивости по первому
приближению.
Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений, записанную в векторной форме:
),( ytfy
=
′
, (13.1)
где
()
T
21
)( , ... ),( ),()( tytytytyy
n
== – неизвестная вектор-функция скалярного аргумента
t
(в качестве
t
выступает время),
=
′
=
′
)(tyy
()
T
21
)( , ... ),( ),( tytyty
n
′′′
=
– её производная,
=
),( ytf
()
T
21
),( , ... ),,( ),,( ytfytfytf
n
= – вектор-столбец правых
частей уравнений системы (9.4).
Пусть выполнены условия (см. теорему 9.1), при которых задача Коши для системы (13.1) с начальным условием
0
0
)( ξ=ty , (13.2)
где
()
T
00
2
0
1
0
, ... , ,
n
ξξξ=ξ , имеет единственное решение, определённое на некотором промежутке
[]
htht +−
00
, .
Пусть также выполнены известные условия [1.1, с. 236], обеспечивающие продолжимость этого решения на всю
полуось
[
)
∞+ ,
0
t .
Таким образом, в дальнейшем предполагается, что каждое решение системы (13.1) продолжимо на полуось
[
)
∞
+
,
0
t .
Рассмотрим в
n
Ρ
евклидову норму:
– для любого
ξ
()
T
21
, ... , ,
n
ξξξ=
n
Ρ∈
2
1
1
2
ξ=ξ
∑
=
n
i
i
.
Определим расстояние между векторами в
n
Ρ :
– для
∀ ξ
()
T
21
, ... , ,
n
ξξξ= ,
()
T
21
, ... , ,
n
ηηη=η
n
Ρ
∈
положим
()
1
2
2
1
(, )
n
ii
i=

ρξη = ξ−η = ξ−η


∑
. (13.3)
Замечание 13.1. Норма любого вектора
n
Ρ∈ξ равна его расстоянию до нулевого вектора
()
T
0 , ... ,0 ,0=Θ .
Действительно,
),( Θξρ
=
Θ−ξ=ξ .
Замечание 13.2. При 3 ,2 ,1=n формула (13.3) задаёт обычное расстояние между двумя точками соответственно на
прямой, плоскости и в трёхмерном пространстве.
Определение 13.1. Решение
()
T
**2*1
*
)( , ... ),( ),()( tytytyty
n
= системы (13.1), определённое на полуоси
[
)
∞
+
,
0
t ,
называется устойчивым (по Ляпунову), если для любого сколь угодно малого
0>
ε
∃
=δ | 0 ) ,(
0
>εδ= t для любого
решения
()
T
21
)( , ... ),( ),()( tytytyty
n
= системы (13.1), удовлетворяющего условию
*
00
() ()yt y t
<δ, (13.4)
выполняется неравенство
*
() ()yt y t
−
<ε,
∀
[
)
∞+∈ ,
0
tt . (13.5)
Таким образом, тот факт, что решение )(
*
ty системы (13.1) является устойчивым (по Ляпунову), означает, по
определению, следующее: если начальная точка
(
)
)( , ... ),( ),(
002010
tytytyM
n
фазовой траектории
()
[
)
{
}
12 0
(), (), ... , () | ,
n
Lytyt yttt=∈+∞решения )(ty системы (13.1) достаточно близка (по метрике (13.3)) к начальной
точке
()
)( , ... ),( ),(
0*0*20*1
*
0
tytytyM
n
фазовой траектории
*
L
=
(
)
{
1* 2* *
(), (),... , () |
n
yty t y t=
[
)
}
0
,tt∈+∞
решения
)(
*
ty , то
для каждого
[
)
∞+∈ ,
0
tt соответствующая точка
(
)
)( , ... ),( ),(
21
tytytyM
n
фазовой траектории L достаточно близка к точке

Страницы