Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ν
β
−
µ
α
=
µ
A , να+µβ=νA . (12.19)
Из (12.19) следует, что 0≠µ , 0
≠
ν . Действительно, : пусть, например, 0
=
µ
. Тогда βν−⋅α= 00A , т.е. 0
=
β
ν
−
,
следовательно
0=ν , ибо 0≠β . Значит, 0
=
ν
+µ= iw . Противоречие, так как вектор w выбирался ненулевым. .
Аналогично показывается, что
0
≠
ν . : векторы
µ
,
ν
линейно зависимы, т.е. существует нетривиальная линейная
комбинация этих векторов, равная нулю:
0
21
=
ν+µ CC . Пусть, для определённости, 0
2
≠
C , тогда
µ
=
k , (12.20)
где
21
/ CCk −= .
Подставим в (12.19) вместо
ν его выражение из (12.20) :
µβ−µα=µ kA ,
µ
α
+
µ
β
=
µ
kk A , т.е. µα+µ
β
=µ
k
A.
Из последних равенств получаем µ
α+
β
=µβ−α
k
k)(
, следовательно, α+
β
=β−α
k
k , откуда
(
)
01
2
=β+ k
. Противоречие,
ибо
0≠β . .
Выделим действительную и мнимую части решения (12.18). Используя основное свойство показательной функции [2.4,
с. 86]
2121
zzzz
eee =
+
,
∀
Χ
∈
21
, zz ,
а также формулу Эйлера [2.4, с. 86]
zize
zi
sincos += ,
∀
Χ
∈
z
,
получаем
)sin(cos
)(
xixee
xxi
β+β=
αβ+α
. (12.21)
В силу (12.18), (12.21)
()()
()
1
( ) cos sin cos sin
n
x
jj jj
j
yx e x x i x x
α
=
= µ β−ν β + ν β+µ β .
Полагая
()
T
11
( ) cos sin , ... , cos sin
x
nn
ux e x x x x
α
=µβ−νβ µβ−νβ, (12.22)
()
T
11
( ) cos sin , ... , cos sin
x
nn
vx e x x x x
α
=νβ+µβ νβ+µβ, (12.23)
получаем
)()()( xivxuxy +
=
, (12.24)
где
()
T
21
)( , ... ),( ),()( xuxuxuxu
n
= ,
()
T
21
)( , ... ),( ),()( xvxvxvxv
n
= – соответственно действительная и мнимая части
комплекснозначного решения (12.18). Функция (12.24) является решением системы (12.2), т.е.
[
]
()
)()(A)()( xivxuxivxu +=
′
+ . (12.25)
Используя правило дифференцирования комплекснозначной функции действительного переменного [2.6, с. 30]
[]
)()()()( tbitatibta
′
+
′
=
′
+ ,
имеем
[]
()()
11
() () () () () ()
nn
ii ii
ii
u x iv x u x iv x u x iv x
==
′
′

′′
+= + =+ =

() ()
11
() () () ()
nn
ii
ii
ux ivx ux ivx
==
′′′′
=+ =+
.
Получили формулу
[]
() () () ()ux ivx u x iv x
′
′′
+=+
. (12.26)
Далее,
(
)
)(A)(A)()(A xvixuxivxu +
=
+
. (12.27)
В силу (12.25) – (12.27)
)(A)(A)()( xvixuxvixu
+
=
′
+
′
.

Страницы