Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

wexy
xλ
=)( , (12.3)
где Χ∈λ ,
n
n
wwww Ρ∈=
T
21
) , ... , ,( , Θ≠w , т.е. 0 ...
22
2
2
1
≠+++
n
www . Выясним, при каких λ и w вектор-функция (12.3)
является решением системы (12.2). Для этого подставим её в данную систему:
(
)
wewe
xx λλ
=
′
A . (12.4)
Заметим, что
(
)
wewe
xx λλ
λ=
′
. (12.5)
Действительно,
()( )
T
12
, , ... ,
xxx x
n
ew ew ew ew
λλλ λ
′
′
==
()
T
12
, , ... ,
xx x x
n
we w e w e e w
λλ λ λ
=λ λ λ=λ.
Заметим также, что
wewe
xx
AA
λλ
= . (12.6)
В силу (12.4) – (12.6)
wewe
xx
A
λλ
=λ .
Известно [2.4, с. 88], что
0≠
z
e , ∀ Χ∈
z
. Поэтому можно сократить на скалярный множитель
x
e
λ
:
ww
λ
=
A . (12.7)
Таким образом, вектор-функция (12.3) является решением системы (12.2), если выполняется условие (12.7), т.е. если
число
λ является собственным значением матрицы
A
а вектор-столбец w является её собственным вектором, отвечающим
этому собственному значению
λ . Условие (12.7) можно рассматривать как уравнение для нахождения нужных нам значений
λ и w . Это уравнение можно записать в виде
0E)(A =
λ
−
w , (12.8)
где E – единичная матрица порядка n.
Скалярная запись матричного уравнения (12.8) имеет вид
=λ−+++
=++λ−+
=+++λ−
. 0)(...
.........................................................
, 0...)(
, 0...)(
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
wawawa
wawawa
wawawa
(12.9)
Известно [2.2, с. 66], что однородная система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет ненулевое
решение лишь в том случае, когда её определитель равен нулю. Следовательно, система (12.9) имеет ненулевое решение при
выполнении условия
0E)(Adet
=
λ
−
,
т.е.
0
...
....................................
...
...
21
22221
11211
=
λ−
λ−
λ−
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
. (12.10)
Условие (12.10) можно рассматривать как уравнение для нахождения
λ
. Это уравнение называется
характеристическим уравнением, а его корни – характеристическими числами однородной системы линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (12.2). Левая часть уравнения (12.10) называется
характеристическим определителем системы (12.2). Если раскрыть определитель в левой части (12.10), то получим
алгебраическое уравнение n-й степени относительно
λ
, левая часть которого называется характеристическим многочленом
системы (12.2). Из алгебры известно [2.5, с. 157], что такое уравнение имеет в поле комплексных чисел n корней, если
каждый из корней считать столько раз, какова его кратность.
Пусть
p
λλλ , ... , ,
21
– (12.11)

Страницы