Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В силу теорем 10.2, 10.4 для вронскиана )W(x n решений однородной системы линейных дифференциальных
уравнений существует альтернатива:
• либо 0)W( ≠x для ∀ ] ,[ bax ∈ ,
• либо 0)W( =x для ∀ ] ,[ bax ∈ ,
ибо эти
n решений либо линейно независимы на ],[ ba , либо линейно зависимы на ],[ ba .
В силу следствий 10.1, 10.2 получаем следующее
правило проверки n решений (10.7) однородной системы линейных
дифференциальных уравнений
(10.4) на линейную независимость.
Вычисляем значение вронскиана
)W(x этих решений в какой-либо точке ],[
*
bax
∈
. Если 0)W(
*
≠x , то решения (10.7)
линейно независимы на
],[ ba , т.е. образуют ФСР системы (10.4). Если 0)W(
*
=
x , то решения (10.7) линейно зависимы на
],[ ba , т.е. не являются ФСР системы (10.4) (в качестве точки
*
x удобно брать какое-либо простое значение, например, если
],[0 ba∈ , то можно взять 0
*
=x ).
Докажем
теорему о существовании ФСР для однородной системы линейных дифференциальных уравнений.
Теорема 10.5. Однородная система линейных дифференциальных уравнений имеет ФСР.
Возьмём произвольный отличный от нуля определитель
nnnn
n
n
bbb
bbb
bbb
...
............................
...
...
21
22221
11211
=∆
и некоторое ],[
0
bax ∈ . Рассмотрим n задач Коши вида
yxy )(A
=
′
, (10.17)
j
xy B)(
0
=
, nj , ... ,2 ,1
=
, (10.18)
где
()
T
21
, ... , ,B
njjjj
bbb=
–
j
-й столбец определителя
∆
.
Пусть
()
T
21
)(
)( , ... ),( ),()( xyxyxyxy
njjj
j
= , nj
≤
≤
1 , – решения этих задач Коши. Такие решения существуют в силу
теоремы 9.1. В силу (10.18) вронскиан этих решений в точке
0
x равен
∆
и, следовательно, отличен от нуля. Значит, в силу
следствия 10.2, решения
)(, ... ),( ),(
)()2()1(
xyxyxy
n
линейно независимы на промежутке ],[ ba , т.е. дают ФСР для системы
уравнений (10.4).
Из доказательства теоремы 10.5 видно, что однородная система линейных дифференциальных уравнений имеет
бесконечное множество фундаментальных систем решений.
Действительно, беря какой-либо другой определитель
0
~
≠∆ , получим другую ФСР.
Пусть
0
Ω – множество решений системы (10.4). В силу теорем 10.3, 10.5 множество
0
Ω
является n-мерным линейным
пространством. В качестве базиса этого пространства можно брать любую ФСР системы (10.4).
Лекция 11. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ (продолжение)
Теорема о структуре общего решения неоднородной системы; фундаментальная матрица, её свойства; метод
вариации произвольных постоянных; система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим неоднородную и соответствующую ей однородную системы линейных дифференциальных уравнений
)()(A xfyxy +
=
′
, (11.1)
yxy )(A
=
′
, (11.2)
где
()
1
() ()
n
i
i
yyx yx
=
== – неизвестная столбцовая вектор-функция независимой переменной ],[ bax ∈ ;
()
1
() ()
n
i
i
yyx yx
′′ ′
==
– её производная;
()
1
() ()
n
i
i
fx f x
=
= – вектор-столбец свободных членов;
()
,1
A( ) ( )
n
ij
ij
xax
=
=
– матрица системы (11.1).
Докажем
теорему о структуре общего решения неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений.
Сделаем предварительно пару замечаний.
Замечание 11.1. Сумма любого решения неоднородной системы (11.1) и любого решения соответствующей ей
однородной системы (11.2) является решением неоднородной системы (11.1).
Действительно, пусть
(
)
T
**2*1
*
)( , ... ),( ),()( xyxyxyxy
n
= – решение системы (11.1),
()
T
12
( ) ( ), ( ), ... , ( )
n
yx y xy x y x=
o
oo o
–
решение системы (11.2),
*
() () ()ux y x y x=+
o
. Тогда

Страницы