Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

По определению общего решения системы дифференциальных уравнений (см. лекцию 9), формула (10.8) будет задавать
общее решение системы (10.4), если, во-первых, для любых конкретных значений параметров
12
, , ...,
n
CC C функция вида
(10.8) является решением системы (10.4) (это условие, как только что установлено, выполняется), и, во-вторых, любое
решение системы (10.4) можно получить по формуле (10.8) путём соответствующего подбора значений параметров
12
, , ...,
n
CC C.
Итак, осталось выяснить, при каких условиях на решения (10.7) любое решение системы (10.4) можно получить из
формулы (10.8) или, другими словами, представить в виде (10.8). Для этого потребуются некоторые дополнительные
сведения.
Определителем Вронского (вронскианом) n решений (10.7) однородной системы линейных дифференциальных
уравнений (10.4) называется функциональный определитель n-го порядка,
j -й столбец которого образуют компоненты j -
того решения
)(
)(
xy
j
( nj ≤≤1 ), т.е. определитель вида
)(...)(...)()(
..........................................
)(...)(...)()(
)(...)(...)()(
)W(
21
222221
111211
xyxyxyxy
xyxyxyxy
xyxyxyxy
x
nnnjnn
nj
nj
=
.
В дальнейшем понадобится необходимое условие линейной независимости n решений однородной системы линейных
дифференциальных уравнений.
Теорема 10.2. Если решения (10.7) системы (10.4) линейно независимы на промежутке ] ,[ ba , то их вронскиан отличен
от нуля при любом
] ,[ bax ∈ .
: 0) W(| ] ,[
00
=
∈∃ xbax . Составим систему n линейных однородных уравнений относительно скалярных
неизвестных
n
ααα , ... , ,
21
, определитель которой равен )W(
0
x :
=α++α+α
=α++α+α
=α++α+α
. 0)( ... )()(
.........................................................................
, 0)( ... )()(
, 0)( ... )()(
0202101
0220221021
0120121011
nnnnn
nn
nn
xyxyxy
xyxyxy
xyxyxy
(10.9)
Так как 0)W(
0
==∆ x , то эта система имеет ненулевое решение
(
)
**
2
*
1
, ... , ,
n
ααα (это означает, что хотя бы одна из
компонент данного решения отлична от нуля) [2.2, с. 66]. Рассмотрим линейную комбинацию решений (10.7) вида
)(...)()()(
)(*)2(*
2
)1(*
1
xyxyxyxy
n
n
α++α+α= . (10.10)
В силу теоремы 10.1, вектор-функция (10.10) является решением системы (10.4). Так как
(
)
**
2
*
1
, ... , ,
n
ααα – решение
системы (10.9), то
0
0
...
0
0
)(...)()(
.............................................................
)(...)()(
)(...)()(
)(
0
*
02
*
201
*
1
02
*
022
*
2021
*
1
01
*
012
*
2011
*
1
0
=
=
α++α+α
α++α+α
α++α+α
=
xyxyxy
xyxyxy
xyxyxy
xy
nnnnn
nn
nn
,
т.е. вектор функция (10.10) удовлетворяет начальному условию
0)(
0
=
xy . (10.11)
Следовательно, вектор-функция (10.10) является решением задачи Коши (10.4), (10.11). С другой стороны нулевая вектор-
функция тоже является решением этой задачи Коши. В силу единственности решения задачи Коши (см. теорему 9.1)
0)( =xy , т.е.
0)(...)()(
)(*)2(*
2
)1(*
1
=α++α+α xyxyxy
n
n
,
∀
] ,[ bax
∈
.
Получили нетривиальную линейную комбинацию вектор-функций (10.7), равную нулю на промежутке ] ,[ ba . А это
означает, по определению, что эти вектор-функции линейно зависимы на
] ,[ ba , что противоречит условию теоремы. .
Следствие 10.1. Если вронскиан решений (10.7) системы (10.4) в некоторой точке ] ,[
*
bax ∈ равен нулю, то эти
решения линейно зависимы на промежутке
] ,[ ba .
Докажем теорему о структуре общего решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений.
Теорема 10.3. Если решения (10.7) системы (10.4) линейно независимы на промежутке ] ,[ ba , то общее решение этой
системы задаётся формулой (10.8), в которой
12
, , ...,
n
CC C– свободные параметры.
Тот факт, что при любых конкретных значениях параметров
12
, , ...,
n
CC C вектор-функция вида (10.8) является
решением системы (10.4), справедлив в силу теоремы 10.1. Осталось показать, что любое решение системы (10.4) можно

Страницы