Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

()
(
)
22 2
ч
cos3 sin 3
x
y
eAxBxC xMxNxF x

=+++++

,
так как правая часть
()
xxxxexf
x
3sin53cos)(
22
+= имеет вид (8.11) и контрольное число ii 32 +=β+α не является корнем
характеристического уравнения
0127
2
=+λ−λ .
Пример 8.7. Уравнение
xxyyy 3cos)52(134
+
=
+
′
+
′′
имеет частное решение вида
xDCxxBAxy 3sin)(3cos)(
ч
+
+
+
= ,
так как правая часть xxxf 3cos)52()(
+
= имеет вид (8.11) и контрольное число ii 5=β+α не является корнем
характеристического уравнения
0134
2
=+λ+λ .
Пример 8.8. Уравнение
xexyyy
x
5sin2510
2
=+
′
−
′′
имеет частное решение вида
()
(
)
22
ч
cos 5 sin 5
x
y e Ax Bx C x Mx Nx F x

=+++++

,
так как правая часть
xexxf
x
5sin)(
2
=
имеет вид (8.11) и контрольное число
ii 51+=β+
α
не является корнем
характеристического уравнения
02510
2
=+λ−λ .
Теорема 8.4. Если правая часть уравнения (8.1) имеет вид (8.11) и контрольное число β+α i является корнем кратности
r
характеристического уравнения (8.4), то уравнение (8.1) имеет частное решение вида
[]
xxTxxSexy
NN
xr
β+β=
α
sin)(cos)(
ч
,
где )(xS
N
, )(xT
N
– некоторые многочлены степени N,
{
}
l,max mN
=
.
Теорема 8.4 доказывается аналогично теореме 8.3 [1.3, с. 412].
Пример 8.9. Уравнение
)2sin32cos7(136
3
xxxeyyy
x
+=+
′
+
′′
−
имеет частное решение вида
(
)
(
)
3
ч
cos 2 sin 2
x
y xe AxB x CxD x
−
=+++
,
так как правая часть )2sin32cos7()(
3
xxxexf
x
+=
−
имеет вид (8.11) и контрольное число ii 23 +−=β+α является корнем
кратности 1 (простым корнем) характеристического уравнения
0136
2
=+λ+λ .
Пример 8.10. Уравнение
xxyy 5sin25
=
+
′
′
имеет частное решение вида
()
(
)
ч
cos 5 sin 5yxAxB xCxD x=+ ++


,
так как правая часть
xxxf 5sin)( = имеет вид (8.11) и контрольное число ii 5=
β
+
α
является простым корнем
характеристического уравнения
025
2
=+λ .
Как отмечалось выше (см. лекцию 3) задача Коши для дифференциального уравнения n-го порядка состоит в отыскании
такого решения этого уравнения, которое в фиксированной точке
0
x принимает заданное значение
0
y и производные
которого до
)1( −n -го порядка включительно принимают в точке
0
x заданные значения
)1(
0
0
, ... ,
−
′
n
yy . В различных
приложениях возникает задача о нахождении решения дифференциального уравнения n-го порядка, удовлетворяющего n
условиям, заданным в нескольких точках
k
xxx , ... , ,
21
( nk
≤
). Такая задача называется краевой (или граничной) для
дифференциального уравнения n-го порядка, а заданные n условий – краевыми (или граничными) условиями.
Рассмотрим, например, дифференциальное уравнение второго порядка
)
yyxfy
′
=
′
′
,, . (8.15)
Различают три основных вида краевых задач для уравнения (8.15).
Первая краевая задача (или задача Дирихле): найти на промежутке
] ,[ ba такое решение )(xy ϕ= дифференциального
уравнения (8.15), которое на концах промежутка принимает заданные значения
a
y ,
b
y :

Страницы