Дифференциальные уравнения. Фомин В.И. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Пример 8.3. Уравнение
x
exyyy
2
)53(44 +=+
′
−
′′
имеет частное решение вида
x
eBAxxy
22
ч
)( += ,
так как правая часть
x
exxf
2
)53()( += имеет вид (8.3) и контрольное число 2
=
α
является корнем кратности 2
характеристического уравнения
044
2
=+λ−λ .
Пример 8.4. Уравнение
539
2
−=
′
+
′′
xyy
имеет частное решение вида
(
)
CBxAxxy ++=
2
ч
,
так как правая часть 53)(
2
−= xxf имеет вид (8.3) и контрольное число 0
=
α
является корнем кратности 1 (простым
корнем) характеристического уравнения
09
2
=λ+λ .
Пример 8.5. Уравнение
x
xeyy
5
3152 =−
′
−
′′
имеет частное решение вида
x
eBAxxy
5
ч
)( += ,
так как правая часть
x
xexf
5
3)( =
имеет вид (8.3) и контрольное число 5
=
α
является простым корнем характеристического
уравнения
0152
2
=−λ−λ .
Пусть правая часть уравнения (8.1) имеет вид
[
]
xxBxxAexf
m
x
β+β=
α
sin)(cos)()(
l
, (8.11)
где α , β – некоторые заданные действительные числа; )(xA
m
и )(xB
l
– некоторые заданные многочлены степеней m и l
соответственно.
Рассмотрим комплексное число
β+α i , которое в дальнейшем будем называть контрольным числом.
Замечание 8.3 (принцип суперпозиции решений). Если правая часть уравнения (8.1) имеет вид )()()(
21
xfxfxf
+
=
и
)1(
ч
y – частное решение уравнения ,
1
fLy =
)2(
ч
y – частное решение уравнения
2
fLy
=
, то
)2(
ч
)1(
чч
yyy += является частным
решением уравнения (8.1).
Действительно, в силу аддитивности дифференциального оператора
L , получаем
()
fffLyLyyyLLy =+=+=+=
21
)2(
ч
)1(
ч
)2(
ч
)1(
чч
.
Принцип суперпозиции решений распространяется на любое конечное число слагаемых.
Замечание 8.4. Если комплекснозначная функция )()( xivxuy
+
=
является решением уравнения
)()( xibxaLy
+
=
,
то комплексно сопряжённая ей функция )()( xivxuy −= является решением уравнения
)()( xibxaLy
−
=
.
Действительно, по условию
(
)
)()()()( xibxaxivxuL +
=
+
. (8.12)
В силу линейности дифференциального оператора
L
,
(
)
)()()()( xiLvxLuxivxuL +
=
+
. (8.13)
Из (8.12), (8.13) получаем
)()()()( xibxaxiLvxLu
+
=
+
.
Тогда
)()()()( xibxaxiLvxLu +=+ ,
т.е.
)()()()( xibxaxiLvxLu
−
=
−
,

Страницы