Математика 1.1. Фомин В.И. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

1
1
x
∆
=
∆
;
2
2
x
∆
=
∆
;
3
3
x
∆
=
∆
. (7)
Формулы (7) называются формулами Крамера.
Укажем матричный способ решения системы (2). Наряду с матрицей А системы (2) введем в рассмотрение матрицы –
столбцы неизвестных и свободных членов:
1
2
3
X =
x
x
x





;
1
2
3
=
b
b
b


Β



.
Тогда систему (2) можно записать в матричной форме:
X = B
Α
. (8)
Определитель второго порядка :: =
число, записываемое в виде
11 12
21 22
µ
∆=
µ
µ
и вычисляемое по формуле
11 12
11 22 12 21
21 22
µµ
∆= =µ µ −µ µ
µµ
.
Минор
ij
Μ элемента
ij
a матрицы (3) :: = определитель второго порядка, составленный из элементов матрицы (3), ос-
тающихся после вычеркивания ее i-й строки и j-го столбца.
Например, минор элемента
32
a имеет вид
11 13
32
21 23
M =
aa
aa
.
Алгебраическое дополнение
ij
Α
элемента
ij
a
матрицы (3) ::
=
минор
M
ij
этого элемента, взятый со знаком (1)
ij
+
− :
(1) M
ij
ij ij
+
Α=−
.
Например, алгебраическое дополнение элемента
12
a имеет вид
21 23
12
12
31 33
(1)
aa
aa
+
Α=− .
Заметим, что если сумма ij+ четна, то алгебраическое дополнение элемента
ij
a
совпадает с его минором, если ij
+
нечетна, то алгебраическое дополнение элемента
ij
a отличается от его минора лишь знаком.
Матрица (3) называется
невырожденной (или неособенной), если ее определитель
∆
отличен от нуля.
Матрица (3) называется вырожденной (или особенной), если
0
∆
= .
Обратная матрица к матрице (3) :: =
матрица
11
| ,
−
−
Α
ΑΑ = Ε
1−
ΑΑ=Ε, где Е – единичная матрица.
Если матрица (3) является невырожденной, т.е.
0
∆
≠ , то для нее существует обратная матрица
1−
Α и
1
−
Α
находится по
формуле
11 21 31
1
12 22 32
13 23 33
1
−
ΑΑΑ


Α= Α Α Α

∆

ΑΑΑ

, (9)
где
ij
Α − алгебраические дополнения элементов
ij
a (1, 3ij
≤
≤ ) матрицы (3).
Заметим, что алгебраические дополнения к элементам первой строки матрицы (3) записываются в первый столбец мат-
рицы в формуле (9), второй строки – во второй столбец, третьей строки − в третий столбец.
Пусть матрица (3) является невырожденной. Тогда существует обратная матрица
1
−
Α
. Умножая обе части (8) слева на
матрицу
1−
Α
, получаем
11
(X) =
−−
Α
ΑΑΒ
. (10)
В силу свойства ассоциативности
11
(X) = ( )X
−−
ΑΑ ΑΑ. (11)
Заметим, что

Страницы