Математика 1.1. Фомин В.И. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

1
, X=X.
−
ΑΑ=ΕΕ (12)
В силу (10) − (12)
1
X= B
−
Α
. (13)
Итак, при матричном способе решения матрица-столбец неизвестных находится по формуле (13).
Систему (2) можно решить также методом Гаусса (методом последовательного исключения неизвестных) (Гаусс К.Ф
(1777 − 1855) – немецкий математик, астроном, физик и геодезист).
Пусть
11
0a ≠ (если
11
0a = , то в системе (2) надо первое уравнение поменять местами с каким-либо другим уравнением,
у которого коэффициент при неизвестной
1
x
отличен от нуля, и в дальнейшем рассматривать вновь полученную систему
уравнений, которая равносильна (эквивалентна) исходной системе (2) (две системы линейных уравнений называются равно-
сильными, если множества их решений совпадают)). Преобразуем систему (2), исключая неизвестное
1
x
из второго и третье-
го уравнений. Для этого обе части первого уравнения, умноженные на число
21
11
a
a
, вычтем из соответствующих частей второ-
го уравнения; затем обе части первого уравнения, умноженные на число
31
11
a
a
, вычтем из соответствующих частей третьего
уравнения. В результате придем к системе вида
11 1 12 2 13 3 1
22 2 23 3 2
32 2 33 3 3
;
;
.
ax ax ax b
ax ax b
ax ax b
++=
′′′
+=
′′′
+=
(14.1)
(14.2)
(14.3)
(14)
Полученная система уравнений (14) равносильна исходной системе (2).
Может оказаться, что хотя бы в одном из двух последних уравнений системы (14) коэффициенты при неизвестных рав-
ны нулю, а свободный член отличен от нуля. Пусть, например, уравнение (14.2) имеет вид
232
00
x
xb⋅+⋅=, где
2
0b
≠
. В
этом случае система (14) несовместна и, следовательно, равносильная ей исходная система (2) тоже несовместна.
Возможен случай, когда в одном из двух последних уравнений системы (14) коэффициенты при неизвестных и свобод-
ный член равны нулю. Пусть, например, уравнение (14.2) имеет вид
23
000xx
⋅
+⋅ =. (15)
Уравнение (15) удовлетворяется при любых значениях неизвестных
2
x
,
3
x
, поэтому его можно отбросить и перейти от
системы (14) к равносильной ей системе
11 1 12 2 13 3 1
32 2 33 3 3
;
.
ax ax ax b
ax ax b
++=
′′′
+=
(16)
Если
33
0a
′
=
, то из второго уравнения системы (16) находим
22
x
x
=
o
и подставляем найденное значение в первое урав-
нение системы (16).
В результате получаем уравнение вида
11 1 13 3 1
ax ax b
′
= . (17)
Полагая
3
x
равным произвольному числу
()
Rγγ∈
и подставляя в уравнение (17) вместо
3
x
параметр
γ
, находим из
полученного уравнения
1
()x =
ϕγ
. Тогда множество решений системы (16) и, тем самым, системы (2) в случае
33
0a
′
=
имеет
вид
(
)
{
}
2
( ) , , |
M
xR=ϕγ γγ∈
o
,
т.е. система (2) имеет бесконечное множество решений. Если положить
γ
, равным конкретному числу
∗
γ , то получим кон-
кретное решение
*2*
( ( ) , , )xϕγ γ
o
.
Если
33
0a
′
≠ , то полагая
3
()
x
R=γ γ∈ и подставляя во второе уравнение системы (16) вместо
3
x
параметр
γ
, находим
из полученного уравнения
2
()x =ψ γ . Затем в первое уравнение системы (16) вместо
2
x
и
3
x
подставляем соответственно
()ψγ и γ и из полученного уравнения находим
1
()x
=
ϕγ . Тогда множество решений системы (16) и, тем самым, системы (2)
в случае
33
0a
′
≠ имеет вид
(
)
{
}
( ) , ( ) , |
M
R=ϕγψγγγ∈ ,
т.е. система (2) является неопределенной.
Если второе и третье уравнения системы (14) имеют вид (15), то отбрасывая их, переходим от системы (14) к равно-
сильному ей уравнению
11 1 12 2 13 3 1
ax ax ax b
+
+=. (18)

Страницы