Математика 1.1. Фомин В.И. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Полагая
3
x =
γ
,
2
x =
β
и подставляя в уравнение (18) вместо
2
x
и
3
x
соответственно
β
и
γ
, находим из полученного
уравнения
1
(,)x =
ϕβγ
. Тогда множество решений уравнения (18) и, тем самым, системы (2) имеет вид
(
)
{
}
( , ) , , | ,
R=ϕβγβγβγ∈ ,
т.е. система (2) имеет бесконечное множество решений.
Если положить
β
и
γ
равными конкретным числам
*
β
и
*
γ
, то получим конкретное решение
** **
( ( , ) , , )
ϕβ γ β γ
.
Вернемся к системе (14). Пусть
22
0a
′
≠ (если
22
0a
′
=
, то из уравнения (14.2) найдем
33
x
x=
o
; подставив в уравнение
(14.3) вместо
3
x
число
3
x
o
, найдем из полученного уравнения
22
x
x
=
o
; затем, подставив в уравнение (14.1) вместо
2
x
и
3
x
соответственно
2
x
o
и
3
x
o
, найдем из полученного уравнения
11
x
x
=
o
). Преобразуем систему (14), исключая неизвестное
2
x
из
третьего уравнения. Для этого обе части второго уравнения, умноженные на число
32
22
a
a
′
′
, вычтем из соответствующих частей
третьего уравнения. В результате придем к системе вида
11 1 12 2 13 3 1
22 2 23 3 2
33 3 3
;
;
.
ax ax ax b
ax ax b
ax b
++=
′′′
+=
′′ ′′
=
(19.1)
(19.2)
(19.3)
(19)
Если
33
0a
′′
= и
3
0b
′′
≠ , то система (19) несовместна, следовательно, равносильная ей система (2) тоже несовместна. Если
33
0a
′′
= и
3
0b
′′
= , то уравнение (19.3) можно отбросить и мы окажемся в ситуации, аналогичной (16).
Пусть
33
0a
′′
≠ . Тогда из уравнения (19.3) найдем
33
x
x
=
o
. Подставим в уравнение (19.2) вместо
3
x
число
3
x
o
и найдем из
полученного уравнения
22
x
x=
o
. Подставим в уравнения (19.1) вместо
2
x
и
3
x
соответственно
2
x
o
и
3
x
o
и из полученного
уравнения найдем
11
x
x=
o
. Таким образом, в этом случае система (19) и, следовательно, система (2) имеет единственное ре-
шение
123
( , , )
x
xx
ooo
, т.е. является определенной:
{
}
123
( , , )
M
xxx=
ooo
.
Изложенный выше метод Гаусса применим к произвольной системе m линейных уравнений с n неизвестными, т.е. к
любой системе вида (1).
Задача 1.2. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется: а) найти ее решение с помо-
щью формул Крамера; б) записать систему в матричной форме и решить ее матричным способом; в) решить систему мето-
дом Гаусса.
123
123
123
74 13 ;
32 3 3 ;
23 10 .
xxx
xxx
xxx
+−=
++=
−+=−
Решение.
а) Найдем решение системы с помощью формул Крамера
1
1
x
∆
=
∆
;
2
2
x
∆
=
∆
;
3
3
x
∆
=
∆
,
где ∆ − определитель системы уравнений;
1
∆ ,
2
∆ ,
3
∆
− вспомогательные определители системы уравнений.
Вычислим
∆ ,
1
∆ ,
2
∆ ,
3
∆ , используя схему (6):
74 1
3237214323(3)(1)
231
−
∆= =⋅⋅+⋅⋅+⋅−⋅−−
−
–
(1)224313(3)71424941263102−⋅⋅−⋅⋅−⋅−⋅= + ++− + = ;
102 0 ∆= ≠ ⇒система уравнений совместна.
1
13 4 1
3 2 3 13 2 1 4 3 ( 10) 3 ( 3) ( 1)
10 3 1
−
∆ = = ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅− + ⋅− ⋅− −
−−
(1)2(10)4313(3)13 261209 2012
−
−⋅⋅− −⋅⋅−⋅−⋅ = − +− − +117 0
=
,

Страницы