Математика 1.1. Фомин В.И. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

11 1 12 2 13 3 14 4
21 1 22 2 23 3 24 4
311 322 333 344
0 ;
0 ;
0 .
ax ax ax ax
ax ax ax ax
ax ax ax ax
+++=
+
++=
+++=
(20)
Система (20) совместна, ибо имеет нулевое решение
,0
1
=
х ,0
2
=
х ,0
3
=
х 0
4
=
х .
Как уже отмечалось выше, систему (20) можно решить методом Гаусса. При этом в процессе решения число уравнений
системы (20) может лишь уменьшаться (за счет отбрасывания уравнений, у которых коэффициенты при всех неизвестных и
свободный член равны нулю, если такие уравнения появляются в ходе преобразований системы уравнений). Следовательно,
система (20) в конечном итоге приводится к трапецеидальному виду а, значит, является неопределенной.
Нулевое решение системы (20) называется также тривиальным решением. Если хотя бы одна из компонент решения
1234
, , ,
ξξξξ
системы (20) отлична от нуля, то такое решение называется нетривиальным.
Задача 1.3. Найти множество решений однородной системы трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными.
Выписать три конкретные нетривиальные решения и проверить одно из них.
12 34
1234
1234
35 2 5 0 ;
74 3 0 ;
57 49 0 .
xx xx
xxxx
xx xx
−
++=
−++=
+
−−=
Решение. Применим метод Гаусса. Исключим из второго и третьего уравнений системы неизвестное
1
x
. Для этого из
обеих частей второго уравнения, умноженных на число 3, вычтем соответствующие части первого уравнения, умноженные
на число 7; затем из обеих частей третьего уравнения, умноженных на число 3, вычтем соответствующие части первого
уравнения, умноженные на число 5. В результате приходим к системе вида
12 34
23 4
234
35 2 5 0 ;
23 11 26 0 ;
46 22 52 0 .
xx xx
xx x
xxx
−
++=
−
−=
−
−=
В полученной системе уравнений исключаем из третьего уравнения неизвестное
2
. Для этого из обеих частей третьего
уравнения вычтем соответствующие части второго уравнения, умноженные на число 2:
12 34
23 4
34
35 2 5 0 ;
23 11 26 0 ;
0 0 0 .
xx xx
xx x
xx
−
++=
−
−=
⋅
+⋅ =
Последнее уравнение этой системы можно отбросить:
12 34
23 4
35 2 5 0 ;
23 11 26 0.
xx xx
xx x
−
++=
−
−=
Пусть
()
34
, ,
x
xR=γ =µ γµ∈ . Подставляя во второе уравнение системы вместо
3
и
4
соответственно
γ
и
µ
, получа-
ем
2
23 11 26 0x −
γ
−
µ
= , откуда
2
11 26
23 23
x
=
γ+ µ. Подставляя в первое уравнение системы вместо
2
,
3
,
4
соответственно
11 26
23 23
γ+ µ
, γ , µ получаем
1
55 130
3250
23 23
x
−γ
−
µ
+
γ
+
µ
=
,
откуда
1
35
23 23
x
=
γ+ µ.
Итак,
1
35
23 23
x =
γ
+
µ
,
2
11 26
23 23
x =
γ
+
µ
,
34
, xx=γ =µ, где
γ
,
µ
− произвольные действительные числа (параметры). Следо-
вательно, исходная система имеет бесконечное множество решений вида
351126
, , , | ,
23 23 23 23
M
R


=γ+µγ+µγµγµ∈




.
Запишем три конкретные нетривиальные решения:
• положим
γ = 23, µ = 0, тогда
1
x
= 3,
2
= 11,
3
= 23,
4
= 0;
• положим
γ = 0, µ = 23, тогда
1
x
= 5,
2
= 26,
3
= 0,
4
= 23;

Страницы