Математика 1.1. Фомин В.И. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

11 12 13
21 22 23
31 32 33
aaa
aa a
aaa
−λ


Α−λΕ= −λ


−λ

. (25)
Матрица (25) называется характеристической матрицей матрицы А. Учитывая (25), характеристическое уравнение (24)
можно записать в виде
11 12 13
21 22 23
31 32 33
0
aaa
aa a
aaa
−λ
−
λ=
−λ
. (26)
Из вышесказанного следует, что если ставится задача о нахождении собственных значений и собственных векторов
матрицы А, то нужно:
1) записать характеристическое уравнение (26) и найти его корни (тем самым будут найдены собственные значения
матрицы А);
2) для каждого собственного значения
λ записать систему линейных однородных уравнений (22) и найти ее ненулевые
решения а затем протранспонировать найденные ненулевые решения (тем самым будут найдены собственные векторы мат-
рицы А, отвечающие данному собственному значению
λ
).
Все вышесказанное в этом пункте о собственных значениях и собственных векторах квадратной матрицы порядка 3 ес-
тественным образом переносится на случай квадратной матрицы произвольного порядка n.
Задача 1.4. Определить собственные значения и собственные векторы матрицы третьего порядка.
41 2
142
22 1
−


Α=


−

.
Решение. Запишем характеристическое уравнение матрицы А:
412
14 2 0
221
−λ −
−
λ=
−−λ
.
Раскроем левую часть уравнения
412
14 2 (4)(4)(1)12(2)
221
−λ −
−λ = −λ −λ −λ + ⋅ ⋅ − +
−−λ
12( 2)+⋅ ⋅− (2)(4 )(2) 11(1 ) 22(4 )−− ⋅ −λ⋅− − ⋅ ⋅ −λ − ⋅ ⋅ −λ =
2
(16 8 )(1 ) 4 4 16 4 1 16 4= − λ+λ −λ − − − + λ− +λ− + λ=
223 32
16 8 16 8 9 41 9 15 25= −λ+λ− λ+λ−λ+λ− =−λ+λ− λ− .
Характеристическое уравнение принимает вид
32
915250
−
λ+λ− λ− = ,
или
32
915250
λ
−λ+ λ+ = .
Найдем методом подбора целый корень данного уравнения, исходя из того, что целые корни уравнения, если они есть,
находятся среди делителей свободного члена. Делители свободного члена:
1 , 5 , 25
±
±±
. Подставляя поочередно эти делители
в уравнение, приходим к выводу, что
1
1λ=− − корень данного уравнения. Следовательно, левая часть уравнения делится
нацело на двучлен
1
1λ−λ =λ+ :
32
32 2
2
2
_ 9 15 25 +1
10 25
_ 10 15 25
10 10
_ 25 + 25
25 + 25
0
λ−λ+ λ+ λ
λ+λ λ− λ+
−λ+λ+
−λ−λ
λ
λ

Страницы