Математика 1.1. Фомин В.И. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Тогда уравнение принимает вид
2
( 1 )( 10 25) = 0λ+ λ − λ+ .
Приравниваем второй множитель в левой части уравнения нулю:
2
10 25 = 0λ− λ+ или
2
(5 )=0λ− , т.е.
2
5λ=. Итак, мат-
рица А имеет два собственных значения
1
1λ=−,
2
5λ=.
Запишем систему уравнений (22):
12 3
123
12 3
(4 ) 2 0 ;
(4 ) 2 0 ;
22 (1) 0.
xx x
xxx
xx x
−λ + − =
+−λ + =
−
++−λ=
(27)
Найдем собственные векторы матрицы А, отвечающие собственному значению
1
1
λ
=− . Для этого запишем систему (27) при
1
λ=λ :
12 3
123
123
520 ;
520 ;
22 2 0.
xx x
xx x
xx x
+− =
++=
−
++=
(28)
Найдем ненулевые решения системы (28):
12 3
123
123
520 ;
520 ;
22 2 0;
xx x
xx x
xx x
+− =
++=
−+ + =
123
12 3
12 3
0 ;
520 ;
520;
xx x
xx x
xx x
−−=
⇔
++=
+
−=
123
23
23
0 ;
6 3 0 ;
6 3 0;
xx x
xx
xx
−−=
⇔+=
+=
123
23
0 ;
2 0 ;
xx x
xx
−
−=
⇔
+
=
1
2
3
= ;
2
;
2
, .
x
x
x
R
γ
γ
⇔=−
=γ γ∈
Таким образом, множество ненулевых решений системы (28) имеет вид
1
, , | , 0
22
MR

=−γγ∈γ≠



.
Следовательно, множество собственных векторов матрицы А, отвечающих собственному значению
1
1λ=−, имеет вид
T
1
, , | , 0
22
SR
γγ

=−
γγ
∈
γ
≠



.
Найдем собственные векторы матрицы А, отвечающие собственному значению
2
5
λ
= . Для этого запишем систему (27) при
2
λ=λ :
12 3
12 3
123
20 ;
20 ;
22 4 0.
xx x
xx x
xx x
−+ − =
−+ =
−
+−=
(29)
Найдем ненулевые решения системы (29):
12 3
12 3
123
20 ;
20 ;
22 4 0;
xx x
xx x
xx x
−+ − =
−+ =
−
+−=
12 3
20 xx x
⇔
−+ =
1
2
3
2 ;
, ;
, .
x
x
R
x
R
=β− γ
⇔=ββ∈
=γ γ∈
Таким образом, множество ненулевых решений системы (29) имеет вид
()
{}
22
2
2 , , | , ; 0MR=β−γβγ βγ∈ β+γ≠ .
Следовательно, множество собственных векторов матрицы А, отвечающих собственному значению
2
5λ=, имеет вид

Страницы