Математика 1.1. Фомин В.И. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

• положим γ = 1, µ = 1, тогда
1
x
=
8
23
,
2
x
=
37
23
,
3
x
= 1,
4
x
= 1.
Проверим первое решение
1
x
= 3,
2
x
= 11,
3
x
= 23,
4
x
= 0, для чего подставим его в уравнения исходной системы:
33 511 223 50 9 55 46 0 ,
73 411 23 30 21 44 23 0,
5 3 7 11 4 23 9 0 15 77 92 0,
⋅−⋅ +⋅ +⋅=− + =
⋅−⋅++⋅=−+=
⋅+⋅ −⋅ −⋅= + − =
00;
00;
00.
=
=
=
Задача 1.3 решена.
1.4.
СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ
МАТРИЦЫ
Рассмотрим квадратную матрицу порядка 3
11 12 13
21 22 23
31 32 33
aaa
aaa
aaa


Α=



.
Число λ называется собственным значением матрицы А, если существует ненулевая матрица-столбец
1
2
3
X =
x
x
x





,
такая что
X= X
Α
λ , (21)
при этом, матрица-столбец Х называется собственным вектором матрицы А, отвечающим собственному значению
λ
. Про-
ведя умножение в обеих частях (21) и приравнивая соответствующие элементы полученных матриц-столбцов, приходим к
скалярной записи соотношения (21):
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
;
;
.
ax ax ax x
ax ax ax x
ax ax ax x
++=λ
++=λ
++=λ
или
11 1 12 2 13 3
21 1 22 2 23 3
31 1 32 2 33 3
() 0 ;
() 0 ;
()0.
axaxax
ax a x ax
ax ax a x
−λ + + =
−λ + =
++−λ=
(22)
Таким образом, число λ является собственным значением матрицы А тогда и только тогда, когда система уравнений (22) с
таким
λ имеет хотя бы одно ненулевое решение. При этом каждое такое ненулевое решение
()
1,3 1 2 3
X , ,
x
xx= , если его
протранспонировать, т.е. матрица-столбец
1
T
1,3 2
3
X=X
x
x
x


=



является собственным вектором матрицы А, отвечающим данному собственному значению λ .
В матричной форме система (22) имеет вид
(
)
X=0Α−λΕ , (23)
где Е – единичная матрица порядка 3.
Система (22) – это система трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
Если определитель
()
det∆= Α−λΕ системы (22) отличен от нуля, то она, согласно правилу Крамера, имеет единствен-
ное решение
1
x
= 0,
2
x
= 0,
3
x
= 0. Следовательно, система (22) имеет ненулевые решения в том и только том случае, когда
(
)
det 0
Α
−λΕ =
. (24)
Итак, собственными значениями матрицы А являются корни уравнения (24).
Уравнение (24) называется характеристическим уравнением матрицы А, его левая часть, т.е.
()
det Α−λΕ
– характе-
ристическим многочленом матрицы А; решения уравнения (24) – характеристическими числами матрицы А.
Заметим, что

Страницы