Математика 1.1. Фомин В.И. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 5
Пусть
()
,
M
xy− переменная точка с текущими координатами
x
, y . Тогда
0
M
LMMr
∈
⇔=. Используя формулу
для вычисления расстояния между двумя точками плоскости, получаем
()()
22
000
MM x x y y=− +− .
Следовательно,
()( )
22
00
M
Lxx yyr∈⇔ − + − =
или
()( )
22
2
00
x
xyyr
−
+− =. (36)
Таким образом, уравнение окружности с центром в точке
(
)
000
,
xy радиуса r задается формулой (36). В частности, урав-
нение окружности с центром в начале координат радиуса
r имеет вид
222
x
yr
+
= .
Уравнение (36) – это алгебраическое уравнение второй степени, следовательно, окружность есть линия второго порядка.
Эллипс
:: = геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных
точек
1
F
,
2
F
этой плоскости есть постоянная величина, равная 2a и эта постоянная больше расстояния между точками
1
F
и
2
F
: 2 2ac> , где
12
2cFF= , при этом, точки
1
F
и
2
F
называются фокусами эллипса.
Рассмотрим на плоскости эллипс с фокусами
1
F
,
2
F
. Введем на этой плоскости ДПСК следующим образом: в качестве
оси абсцисс возьмем прямую
12
()
F
F , считая ее направленной от
1
F
к
2
F
, начало координат поместим в середине отрезка
12
F
F . При таком выборе ДПСК уравнение данного эллипса имеет вид
22
22
1
xy
ab
+
= , (37)
где
22
bac=−(величина b является вещественным числом, ибо по определению эллипса 22ac> , т.е. ac> ). Заметим,
что
ba< . Уравнение (37) называется каноническим уравнением эллипса. Уравнение (37) – это алгебраическое уравнение
второй степени, следовательно, эллипс есть линия второго порядка.
В уравнение (37) текущие координаты
,
x
y переменой точки
(
)
,
M
xy
, принадлежащей эллипсу, входят в четной сте-
пени, следовательно, эллипс симметричен относительно координатных осей
Ox и
Oy
. Поэтому для построения эллипса
достаточно исследовать форму части эллипса, расположенной в первой координатной четверти, т.е. построить график функ-
ции
22
b
yax
a
=−
(38)
при 0
x
a≤≤ (выражение (38) получено из формулы (37)), а затем с помощью зеркальных отражений графика относительно
координатных осей восстановить форму эллипса в остальных координатных четвертях. В результате указанных операций
получается, что эллипс имеет форму, изображенную на рис. 6.

Страницы