Математика 1.1. Фомин В.И. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Координатные оси Ox и Oy являются осями симметрии эллипса (оси симметрии эллипса называют обычно осями эл-
липса), а начало координат – центром симметрии эллипса (центр симметрии эллипса называют обычно центром эллипса).
Таким образом, оси эллипса – это координатные оси
Ox и Oy а центр эллипса – это точка
(
)
0; 0O . Точки пересечения эл-
липса с его осями называются вершинами эллипса. Таким образом, эллипс имеет четыре вершины
, , ,
A
AB B
′′
.
Рис. 6
Отрезки
A
A
′
и BB
′
(а также их длины 2a и 2b ) тоже принято называть осями эллипса:
A
A
′
− большая ось эллипса;
BB
′
− малая ось эллипса (соответственно, 2a − большая ось эллипса; 2b − малая ось эллипса). В этом случае отрезки OA
и
OB (а также их длины a и b ) принято называть полуосями эллипса: OA − большая полуось эллипса; OB − малая полу-
ось эллипса (соответственно, a − большая полуось эллипса;
b − малая полуось эллипса).
Пусть
()
,
M
xy − произвольная точка эллипса. Отрезки
1
F
M и
2
F
M (а также их длины
1
r и
2
r ) называются фокальны-
ми радиусами точки М.
Из определения эллипса следует, что
12
2rr a+= .
Подчеркнем еще раз, что величина
b (малая полуось эллипса), входящая в каноническое уравнение эллипса, однознач-
но определяется величинами a и c по формуле
22
bac
=
− .
Если окажется, что
ba= , то каноническое уравнение эллипса принимает вид
22 2
ya
+
= , (39)
а уравнение (39) определяет окружность с центром в точке
(
)
0; 0O радиуса a . Следовательно, окружность можно рассмат-
ривать как частный случай эллипса.
Во многих задачах линия второго порядка задается общим уравнением, т.е. уравнением вида (35).
Чтобы построить такую линию, нужно вначале уравнение (35) привести к каноническому виду, исходя
из которого можно построить искомую линию.
Если в уравнении (35) 0B = , т.е. отсутствует член с произведением текущих координат, то для приведения такого
уравнения к каноническому виду достаточно применить формулы сокращенного умножения
()
2
22
2a abb ab−+=−
или
()
2
22
2aabbab++=+.
Может случиться, что при приведении общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду получится
уравнение вида (37):
22
22
1
xy
ab
+
= , (40)
но ab< . В этом случае уравнение (40) определяет эллипс следующего вида показанного на рис. 7 (переменные
x
и y по-
менялись ролями);
22
abc=−, т.е.
22
cba=−.

Страницы