Математика 1.1. Фомин В.И. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 7
Гипербола
:: =
геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух
фиксированных точек
1
F
,
2
F
этой плоскости есть постоянная величина 2a и эта постоянная меньше расстояния между точ-
ками
1
F
и
2
F
: 2 2ac< , где
12
2cFF= , при этом точки
1
F
и
2
F
называются фокусами гиперболы.
Рассмотрим на плоскости гиперболу с фокусами
1
F
,
2
F
. Введем на этой плоскости ДПСК следующим образом: в
качестве оси абсцисс возьмем прямую
12
()
F
F , считая ее направленной от
1
F
к
2
F
; начало координат поместим в середине
отрезка
12
F
F . При таком выборе ДПСК уравнение данной гиперболы имеет вид
22
22
1
xy
ab
−
= , (41)
где
22
bca=− (величина
b
является вещественным числом, ибо по определению гиперболы 22ac< , т.е.
ac
<
).
Уравнение (41) называется каноническим уравнением гиперболы. Уравнение (41) является алгебраическим уравнением
второй степени, следовательно, гипербола – это линия второго порядка.
В уравнение (41) текущие координаты
,
x
y переменой точки
)
,
M
xy, принадлежащей гиперболе, входят в четной
степени, следовательно, гипербола симметрична относительно координатных осей
Ox и
Oy
. Поэтому для построения ги-
перболы достаточно исследовать форму части гиперболы, расположенной в первой координатной четверти, т.е. построить
график функции
22
b
yxa
a
=−
, (42)
при
x
a≥ (выражение (42) получено из формулы (41)), а затем с помощью зеркальных отражений полученного графика от-
носительно координатных осей восстановить форму гиперболы в остальных координатных четвертях. В результате указан-
ных операций получается, что гипербола имеет форму, представленную на рис. 8.
Координатные оси
Ox и Oy являются осями симметрии гиперболы (оси симметрии гиперболы называют обычно ося-
ми гиперболы), а начало координат – центром симметрии гиперболы (центр симметрии гиперболы называют обычно цен-
тром гиперболы). Таким образом, оси гиперболы – это координатные оси
Ox и
Oy
, а центр гиперболы – это точка
)
0; 0O .
Точки пересечения гиперболы с ее осью называются вершинами гиперболы. Таким образом, гипербола имеет две вершины
A
′
и
A
.

Страницы