Математика 1.1. Фомин В.И. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Объем пирамиды, построенной на векторах a
r
, b
r
, c
r
при условии, что векторы a
r
, b
r
, c
r
приложены к одной общей точке,
выражается формулой
пир
1
6
V abc=
r
rr
.
Признак компланарности векторов:
a
r
, b
r
, c
r
компланарны 0abc
⇔
=
r
rr
.
Если
{}
111
,,axyz=
r
,
{}
222
,,bxyz=
r
,
{}
333
,,cxyz=
r
, то
111
222
333
x
yz
abc x y z
x
yz
=
rrr
.
Скалярное произведение ab
rr
обозначается также через
)
,ab
r
uur
, векторное произведение ab×
rr
− через ,ab


r
r
, смешанное
произведение
abc
rrr
− через
()
,,abc
rrr
.
Задача 2.3. Даны векторы a
r
, b
r
и c
r
. Для векторов, указанных в пп. а) – д), выполнить соответственно следующие
операции:
а) вычислить смешанное произведение трех векторов;
б) найти модуль векторного произведения;
в) вычислить скалярное произведение векторов;
г) проверить векторы на коллинеарность и ортогональность;
д) проверить, будут ли компланарны векторы.
23aijk=−+
rrrr
; 27bi j k=− +
r
rr r
; 32ci j k=− +
r
rr r
.
а) 2a−
r
, b
r
, 2c−
r
; б) 6a−
r
, 4c
r
; в) 3b
r
, 8c−
r
;
г)
b
r
, c
r
; д) 5a
r
, 4b
r
, 3c
r
.
Решение. Запишем векторы
a
r
, b
r
, c
r
в координатной форме:
{
}
2; 3; 1a =−
r
,
{
}
1; 2; 7b =−
r
,
{
}
1; 3; 2c =−
r
.
а) (2)(2) 4a b c abc−−= =
rr r rrr
231
41 2 7
132
−
⋅− =
−
4[2( 2) 2 ( 3)71 1( 3)1 1( 2)1 ( 3)12= ⋅ ⋅− ⋅ +− ⋅⋅+⋅− ⋅−⋅− ⋅−− ⋅⋅ −
–
7(3)2]⋅− ⋅ =4( 8 21 3 2 6 42)⋅− − − + + + =4 (50 32) 4 18 72
⋅
−=⋅=;
(2)(2) 72ab c−−=
rr r
;
б)
()
( 6 ) 4 24 24 2 3 1
132
ijk
ac ac−× =− ×=−⋅ − =
−
rrr
rr rr
=
31 21 2 3
24
32 12 1 3
ijk
− −
−⋅⋅ −⋅ +⋅ =

−−

rrr
=
{}
24(33 3)72( )721;1;1ijk ijk−⋅−− − = ⋅++ = ⋅
rr r rrr
;
()
{}
( 6 ) 4 7 2 1; 1; 1ac−× =⋅
rr
;
()
{} {}
222
( 6 ) 4 72 1; 1;1 72 1;1;1 72 1 1 1ac−× =⋅ = ⋅ =⋅ ++=
rr
72 3 ;
()
(6) 4 723ac−× =
rr
;
в)
(3 )( 8 ) 24 24(1 1 ( 2) ( 3) 7 2)bc bc−=− =− ⋅+−⋅−+⋅=
rr rr
=
24 (1 6 14) 24 21 504−⋅++ =−⋅ =− ;

Страницы