Математика 1.1. Фомин В.И. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ж) угол между плоскостями
123
A
AA и
124
A
AA .
1
(6; 1; 4)A ;
2
(2; 2; 5)A
−
− ;
3
(7; 1; 3)A ;
4
(1; 3; 7)A
−
.
Решение.
а) Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками
111
(, ,)
A
xyz и
222
(, ,)Bx y z пространства
()()()
222
21 21 21
A
Bxx yy zz=−+−+−,
получаем:
()( )( )
22 2
12
2 6 2 1 5 4 16 9 81 106AA =−+−−+−−=++=
;
()()()
22 2
13
76 11 34 101 2AA =−+−+−=++=.
Итак,
12
106AA = ,
13
2AA = .
б) Угол
ϕ между ребрами
12
A
A и
13
A
A равен углу между векторами
12
A
A
uuuur
и
13
A
A
u
uuuur
, следовательно,
12 13
12 13
cos
A
AAA
A
AAA
⋅
ϕ=
⋅
u
uuuuruuuuur
u
uuuur uuuuur
.
Имеем:
{}
12
26;21;54AA =−−−−−
uuuuur
,
{}
12
4; 3; 9AA =− − −
uuuuur
;
{}
13
76;11;34AA =− −−
uuuuur
,
{
}
13
1; 0; 1AA
=
−
u
uuuur
;
12 13
41 (3)0 (9)(1) 4 0 9 5AA AA⋅=−⋅+−⋅+−⋅−=−++=
uuuuuruuuuur
,
12 13
5AA AA
⋅
=
u
uuuur uuuuur
;
12 12
106AA AA==
uuuuur
,
13 13
2AA AA==
u
uuuur
(см. п. а) );
55553
cos
106
106 2 2 53
ϕ= = =
⋅
,
553
cos
106
ϕ=
;
553
arccos
106
ϕ=
.
в) Площадь грани
123
A
AA равна площади ∆
321
AAA , а площадь ∆
321
AAA − это площадь треугольника, построенного на
векторах
12
A
A
uuuuur
,
13
A
A
uuuuur
. Следовательно,
123
12 13
1
2
AA A
SAAAA=×
u
uuuuruuuuur
.
Имеем:
{}
12
4; 3; 9AA =− − −
uuuuur
,
{}
13
1; 0; 1AA =−
u
uuuur
(см. п. б) );
12 13
39 49
439
01 11
10 1
ijk
AA AA i j
−− −−
×=−−−=⋅ −⋅ +
−−
−
r
rr
uuuuuruuuuurrr
43
10
k
−
−
+⋅
r
=
{
}
313 3 3;13;3ijk−+=−
r
rr
,
{
}
12 13
3; 13; 3AA AA×=−
u
uuuur uuuuur
;
222
12 13
3 ( 13) 3 9 169 9 187AA AA×=+−+=++=
uuuuuruuuuur
,
12 13
187AA AA×=
u
uuuur uuuuur
;
123
187
2
AA A
S = .
г) Объем пирамиды
1234
A
AAA – это объем пирамиды, построенной на векторах
12
A
A ,
13
A
A ,
14
A
A , следовательно,

Страницы