Математика 1.1. Фомин В.И. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

а) углом наклона ϕ вектора OM
uuuur
к полярной оси, называемым полярным углом точки
M
(по определению
02≤ϕ< π);
б) длиной
ρ вектора OM
uuuur
(расстоянием от точки
M
до полюса), называемой полярным радиусом точки
M
.
Числа
ϕ и ρ называются полярными координатами точки
M
:
(
)
,M
ϕ
ρ .
Для полюса
0ρ= , а ϕ не определено.
Еще раз подчеркнем, что, по определению,
02≤ϕ< π
,
0
ρ
≥
.
Замечание. В некоторых случаях удобно считать, что
<
−
πϕ≤π.
Пусть на плоскости задана полярная система координат. Введем на этой плоскости ДПСК, поместив ее начало в полюс
и взяв полярную ось
Oρ в качестве положительной полуоси Ox (единица измерения длин в ДПСК та же, что и в полярной
системе координат) (рис. 35).
Рис. 35
Тогда положение произвольной точки
M
этой плоскости можно задавать как полярными, так и декартовыми прямоуголь-
ными координатами:
()
,M ϕρ или
()
,
M
xy.
Из прямоугольного треугольника ∆
OAM видно, что декартовы прямоугольные координаты точки выражаются через
ее полярные координаты по формулам:
cos
x
ρϕ; siny
=
ρϕ.
Из того же треугольника следуют формулы, выражающие полярные координаты точки через ее декартовы прямоугольные
координаты:
22
x
yρ= + ;
22
cos
x
x
y
ϕ=
+
;
22
sin
y
x
y
ϕ=
+
; (67)
tg
y
x
ϕ
=
.
Угол ϕ определяется из соотношений (67), при этом следует помнить, что, по определению, 0<2≤ϕ π.
Задача 3.1. Требуется:
а) построить по точкам график функции
(
)
ρ=ρ ϕ в полярной системе координат (значения функции вычислять в точ-
ках
8
k
kπ
ϕ=
);
б) найти уравнение кривой в прямоугольной системе координат, начало которой совмещено с полюсом, а положитель-
ная полуось
Ox − с полярной осью;
в) определить вид кривой.
3sin2
ρ
=ϕ.
Решение.
а) Найдем область определения данной функции, исходя из того, что, по определению,
0ρ≥ , 0<2≤ϕ π:

Страницы