Комплексные числа. Фомина Т.К - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РУДН | Москва

Составители: 

Рубрика: 

называется модулем комплексного числа
(
)
baz ,
=
. Очевидно, что
0
=
z
только тогда, когда
, т.е. 0=z 0
=
a и 0
=
b .
Легко проверить следующие свойства:
zz =
*
,
2121
zzzz ⋅
=
⋅
. (7)
Алгебраическая форма комплексных чисел
В предыдущем разделе было дано аксиоматическое определение
комплексных чисел как упорядоченных пар действительных чисел. Фор-
мулы (1), (2) и (5), (6) позволяют вычислить любые алгебраические выра-
жения, однако выполнение алгебраических операций в таком виде не очень
удобно.
Для того чтобы перейти к более привычной, так называемой алгеб-
раической форме комплексных чисел, рассмотрим подмножество ком-
плексных
чисел, у которых мнимая часть равна нулю, т.е. множество
всех чисел вида
(){
0,: azz ==D
}
(
)
0,az
=
.
Легко проверить, пользуясь общими формулами, что
()
D∈+=+ 0,
2121
aazz
,
()
D∈−=− 0,
2121
aazz
,
()
D∈= 0,
2121
aazz
, (8)
()
D∈= 0,//
2121
aazz
.
Отсюда видно что, множество
замкнуто относительно всех четы-
рех алгебраических операций: в результате сложения, вычитания, умноже-
ния и деления любых чисел
D
z
из этого множества получаются числа, при-
надлежащие тому же множеству
. Более того, каждой алгебраической
операции над комплексными числами
D
D
∈
21
, zz
соответствует точно такая
же операция над действительными числами
R
∈
21
, aa
.
Таким образом, множества
D
и эквивалентны.
R
Легко проверить, что любое комплексное число можно представить в
виде
()()()()
(
)
(
)
1,00,0,,00,,
⋅
+
=
+
== bababaz
. (9)
Пользуясь эквивалентностью множеств
и , заменим в этом ра-
венстве пары
и обычными действительными числами и , а
D R
()
0,a
(
0,b
)
a
b
6

Страницы