Комплексные числа. Фомина Т.К - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РУДН | Москва

Составители: 

Рубрика: 

1. Очевидно, что при 1
=
n эта формула справедлива, т.к. просто
совпадает с определением тригонометрической формы комплекс-
ного числа:
()
ϕ+ϕ= sincos
1
1
izz .
2.
Предположим, что формула (25) справедлива при
k
n = , т.е.
()
ϕ+ϕ= kikzz
k
k
sincos .
3.
Докажем ее справедливость при 1
+
=
k
n :
zzz
kk
⋅=
+1
,
()
(
)
ϕ+ϕ⋅ϕ+ϕ=⋅ sincossincos izkikzzz
k
k
.
Воспользовавшись правилом (22) умножения двух комплексных чи-
сел в тригонометрической форме, найдем
(
)
(
)()
ϕ+ϕ+ϕ+ϕ=⋅
+
kikzzz
k
k
sincos
1
,
откуда получим
(
)()
(
)
(
)
[]
ϕ++ϕ+=
+
+
1sin1cos
1
1
kikzz
k
k
,
т.е. формулу возведения в степень (25) при
1
+
=
k
n .
Таким образом, формула (25) доказана, и мы можем сформулировать
следующие правила:
Для возведения комплексного числа
в целую положительную сте-
пень
следует возвести в эту степень модуль числа
z
n
z
n
n
zz =
(25а)
а аргумент числа
умножить на :
z n
(
)
()
znz
n
ArgArg = . (25б)
Полученное значение аргумента необходимо привести к интервалу
.
π<≤ 2Arg0 z
Пример.
Вычислить , пользуясь тригонометрической формой
комплексного числа.
(
27
1 iz +−=
)
Обозначим
и запишем это число в тригонометрической
форме:
iz +−= 1
0
24

Страницы