Комплексные числа. Фомина Т.К - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РУДН | Москва

Составители: 

Рубрика: 

x
ay = обозначим буквой :
p
(
)
xpy
=
. Одинаковые свойства этих функций
относительно операций умножения, деления и возведения в степень иллю-
стрирует следующая таблица:
()
xp
(
)
ϕ
f
Операция Результат Операция Результат
() ()
21
xpxp ⋅
()
21
xxp
+
(
)
(
)
21
φ
ϕ
ff
⋅
(
)
21
φ
ϕ
+f
()
()
2
1
xp
xp
()
21
xxp
−
(
)
()
2
1
φ
ϕ
f
f
(
)
21
φ
ϕ
−f
()
[]
n
xp
(
)
nxp
(
)
[
]
n
xf
(
)
nxf
В курсе теории функций комплексной переменной доказывается
формула Эйлера
ϕ+ϕ=
ϕ
sincos ie
i
, (27а)
где
– показательная функция с основанием натурального логарифма
(экспонента) от чисто мнимого аргумента
ϕ
i
e
e
ϕ
i
.
Складывая и вычитая из (27а) комплексно сопряженное выражение
для формулы Эйлера, получим выражения для тригонометрических функ-
ций через показательную функцию
2
cos
ϕ−ϕ
+
=ϕ
ii
ee
,
i
ee
ii
2
sin
ϕ−ϕ
−
=ϕ
. (27б)
Из (27а) следует интересное соотношение между тремя замечатель-
ными математическими величинами:
1−=
πi
e . (28)
С помощью формулы Эйлера и тригонометрической формы ком-
плексного числа (16) мы можем любое комплексное число записать в экс-
поненциальной форме:
ϕ
=
i
ezz
. (29)
Данная форма комплексного числа делает очевидными правила ум-
ножения и деления комплексных чисел, в самом деле:
(
)
2121
212121
ϕ+ϕϕϕ
⋅⋅=⋅=⋅
iii
ezzezezzz
. (30а)
(
21
2
1
2
1
2
1
2
1
ϕ−ϕ
ϕ
ϕ
⋅==
i
i
i
e
z
z
ez
ez
z
z
)
. (30б)
26

Страницы