Комплексные числа. Фомина Т.К - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РУДН | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Операция извлечения корня
−
n
ой степени
Определим извлечение корня
−
n
ой степени из комплексного числа
как операцию, обратную возведению комплексного числа в степень .
Другими словами, известен результат
возведения числа в степень :
n
0
z
z n
0
zz
n
= . (31)
Требуется решить обратную задачу, а именно, при заданном числе
и
показателе степени
найти число
0
z
n
z
n
zz
0
=
. (32)
которое, будучи возведённым в степень
, даст число .
n
0
z
Извлечение корня
−
n
ой степени в
тригонометрической форме
Пусть
(
ϕ+ϕ= sincos izz
)
, (33)
(
0000
sincos ϕ+ϕ= izz
)
. (34)
При заданных
0
z
и нам надо найти
0
ϕ
z
и
ϕ
. Подставив (33) и (34)
в (31), получим:
()(
000
sincossincos ϕ+ϕ=ϕ+ϕ izninz
n
)
. (35)
Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их
действительные и мнимые части:
00
coscos ϕ=ϕ znz
n
, (36а)
00
sinsin ϕ=ϕ znz
n
. (36б)
Равенства (36) будут выполнены, если
0
zz
n
= ,
0
coscos ϕ=ϕn , (37)
0
sinsin ϕ=ϕn
Первое уравнение (37) в действительных числах имеет единственное
положительное решение относительно
z
:
27

Страницы