Комплексные числа. Фомина Т.К - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РУДН | Москва

Составители: 

Рубрика: 

n
zz
0
=
. (38)
Так как косинус и синус являются периодическими функциями с пе-
риодом, кратным
π
2 , то второе и третье равенства в (37) будут выполне-
ны, если
kn π+ϕ=ϕ 2
0
, (39)
...,2,1,0 ±±=k
Отсюда найдем решение для аргумента
ϕ
:
n
k
k
π+ϕ
=ϕ
2
0
. (40)
Подставив (38) и (40) в (33) получим формулу для вычисления
−
k
го
корня ой степени из комплексного числа :
−n
0
z
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π+ϕ
+
π+ϕ
⋅==
n
k
i
n
k
zzz
n
k
n
k
2
sin
2
cos
00
00
. (41)
Докажем следующее
Утверждение. Существует ровно значений
корня
n
−
n
ой степени из комплекс-
ного числа
(
)
0000
sincos ϕ+
ϕ
=
izz
, вы-
числяемых по формуле (41) при
)1(...,2,1,0
−
= nk
.
¾ Доказательство.
Пусть . Тогда аргумент корня принимает значения
)1(...,2,1,0 −= nk
n
0
0
ϕ
=ϕ
,
nnn
1
2
2
00
1
π+
ϕ
=
π+ϕ
=ϕ
,
nnn
2
2
4
00
2
π+
=
π+ϕ
=ϕ
, (42)
…
n
n
nn
n
n
1
2
)1(2
00
1
−
π+
ϕ
=
−π+ϕ
=ϕ
−
.
Легко видеть, что при
n
k
≥
28

Страницы