ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Геометрическая интерпретация корней
−
n
ой степени
В соответствии с формулами (41) и (42), все корней ой степени
из комплексного числа
располагаются на окружности радиуса
n −n
0
z
n
zr
0
=
на равном угловом расстоянии
n
π
=ϕ∆
2
друг от друга, начиная от первого
корня
0
0
n
z , аргумент которого равен
n
0
ϕ
. Соединив прямыми линиями
эти точки (или концы векторов, соответствующих комплексным числам
k
n
z
0
, ), мы получим правильный
)1(...,2,1,0 −= nk
−
n
угольник, вписан-
ный в окружность радиуса
n
zr
0
=
.
Пример.
Найти все значения кубического корня из комплексного числа iz 8
=
и построить их на комплексной плоскости.
Запишем заданное комплексное число в тригонометрической форме.
1)
8=z
,
0)Re(
=
z
, .
8)Im( =z
2)
2
)0(arccos
8
0
arccos
)Re(
arccos)Arg(
π
==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
z
z
z
.
Следовательно,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
=
2
sin
2
cos8
iz
.
Общая формула для извлечения корня 3-ей степени из этого ком-
плексного числа согласно (41) имеет вид:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π+π
+
π+π
⋅=
3
22
sin
3
22
cos8
3
3
k
i
k
z
k
.
Отсюда находим три значения для корня кубического из : i8
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
+
π
⋅=
6
sin
6
cos2
0
3
iz
,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
⋅=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
+
π
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
+
π
⋅=
6
5
sin
6
5
cos2
3
2
6
sin
3
2
6
cos2
1
3
iiz
,
30
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- …
- следующая ›
- последняя »
