Комплексные числа. Фомина Т.К - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РУДН | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Самый простой способ решения таких уравнений заключается в пе-
реходе к комплексной переменной: подставим в уравнение (57) вместо
действительной переменной
x
комплексную переменную : z
()
zx Re=
0
2
00
2
2
=ω+γ+ z
dt
dz
d
t
zd
. (58)
и запишем начальные условия
()
0
00
)(Re xtxtz
tt
==
==
, (59)
()
0
00
)(
Re v
dt
tdx
dt
tdz
tt
==
==
, (60)
соответствующие тому, что в момент времени 0
=
t
тело было отведено на
расстояние
от положения равновесия и имело скорость .
0
x
0
v
Частное решение уравнения (58) будем искать в виде
()
ti
etz
ω
= . (61)
Воспользуемся известным правилом дифференцирования показа-
тельной функции:
titi
eie
d
t
d
ωω
ω= ,
tititi
eei
dt
d
e
d
t
d
ωωω
ω−=ω=
2
2
2
. (62)
Подставив результат дифференцирования (62) в уравнение (58) и со-
кратив в нем общий множитель
, получим квадратное алгебраическое
уравнение с комплексными коэффициентами относительно переменной
ti
e
ω
ω
:
0
2
0
2
=ω−γω−ω i . (63)
Дискриминант этого уравнения равен
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ω
γ
−ω=ω+γ−=∆
2
0
2
2
0
2
0
2
4
144 . (64)
В зависимости от величины
∆ получим два типа решения:
1) , т.е. 0≤∆
1
4
2
0
2
≥
ω
γ
:
2
1
4
2
0
2
0
γ
+−
ω
γ
ω±=ω
ii .
Два частных решения имеют вид:
37

Страницы