Кривые второго порядка. Фомина Т.К - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РУДН | Москва

Составители: 

Рубрика: 

20
Инварианты кривых второго порядка
В этом разделе мы рассмотрим влияние поворота и сдвига системы
координат на уравнение (18) и определим его инварианты — величины, за-
висящие от коэффициентов уравнения и не изменяющиеся при этих преоб-
разованиях системы координат.
Инварианты относительно поворота системы
координат
Преобразование поворота системы координат в плоскости
)
,
(
y
x
описывается ортогональной матрицей вращения
ϕϕ−
ϕϕ
=ϕ
100
0cossin
0sincos
)(
3
R , )()(,1)(det
1
333
ϕ=ϕ=ϕ
−
RRR
T
. (19)
Здесь пунктиром выделена блочная структура матрицы: блок
2
2
×
представляет собой рассмотренную выше в разделе "Кривые на плоскости"
матрицу вращения плоскости )(
2
ϕ
R , элемент 1
33
=
r и нулевые остальные
элементы свидетельствуют, что поворот в трехмерном пространстве вы-
полняется относительно оси
OZ
(рис. 5).
Теорема 1. Определитель матрицы уравнения кри-
вой второго порядка
det
=
∆
инвариа н-
тен относительно поворотов системы
координат.
Ø Доказательство.
В новой системе координат VRV )(
3
ϕ
=
′
, обратное преобразование
имеет вид VRVRV
T
′
ϕ=
′
ϕ=
−
)()(
3
1
3
. Подставим последнее равенство в
уравнение (18):

Страницы