Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

10
Ãèäðîñòàòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå ïîëó÷àåòñÿ ïðè óñëîâèè îòñóòñòâèÿ
äâèæåíèÿ, òî åñòü ðàâåíñòâà íóëþ ñêîðîñòè è ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè:
00 ==
vè
t
r
.
Òàêèì îáðàçîì,
0
1
=+Ñ- gp
r
r
, (1.6)
èëè gp
r
r
=
Ñ
. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñèëà òÿæåñòè íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî âíèç
è ñ÷èòàÿ, ÷òî ïî âåðòèêàëè íàïðàâëåíà êîîðäèíàòà z , ò.å.
z
egg
r
r
-= , ïîëó÷èì
g
z
P
r-=
, à gzPP r-=
0
.
Çàïèøåì òåïåðü ïîòîê èìïóëüñà â òåíçîðíûõ îáîçíà÷åíèÿõ. Îòìåòèì,
÷òî â äàëüíåéøåì ìû èíîãäà ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè áóäåì îáîçíà÷àòü
êàê
t
.
ititit
vvv rrr += )(
Óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè ïåðåïèøåì â âèäå
(
)
0=
-
k
k
t
x
vr
r ,
à óðàâíåíèå Ýéëåðà (1.5) â âèäå
ië
i
kit
x
P
x
v
vv
-
-=
r
1
.
Ïîäñòàâèì äâå ïîñëåäíèå ôîðìóëû â âûðàæåíèå äëÿ èçìåíåíèÿ èì-
ïóëüñà:
( )
(
)
( )
( ) ( )
kiik
k
ki
kk
ik
ki
kik
k
i
ik
i
kit
vvP
x
vv
xx
P
vv
xx
P
x
v
v
x
P
x
v
vv
rdrd
r
r
rr
+
-=
-
-=
=
-
-=
-
-
-=
è ââåäåì òåíçîð ïëîòíîñòè ïîòîêà èìïóëüñà, îïèñûâàþùèé ïåðåíîñ
i-îé êîìïîíåíòû èìïóëüñà ÷åðåç ïëîùàäêó, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ k-îé îñè
10



    Ãèäðîñòàòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå ïîëó÷àåòñÿ ïðè óñëîâèè îòñóòñòâèÿ
äâèæåíèÿ, òî åñòü ðàâåíñòâà íóëþ ñêîðîñòè è ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè:

      ¶        r
         = 0 è v = 0.
      ¶t
     Òàêèì îáðàçîì,
          1     r
      -     Ñp+ g = 0,                                                   (1.6)
          r

                       r
      èëèÑ p = rg . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñèëà òÿæåñòè íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî âíèç
                                                          r      r
è ñ÷èòàÿ, ÷òî ïî âåðòèêàëè íàïðàâëåíà êîîðäèíàòà z , ò.å. g = - ge z , ïîëó÷èì

      ¶P
         = - rg ,          à     P = P0 - rgz .
      ¶z

      Çàïèø åì òåïåðü ïîòîê èìïóëüñà â òåíçîðíûõ îáîçíà÷åíèÿõ. Îòìåòèì,
÷òî â äàëüíåéø åì ìû èíîãäà ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè áóäåì îáîçíà÷àòü
êàê ¶t .
      ¶t ( rvi ) = r¶t vi + ¶t rvi

     Óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè ïåðåïèø åì â âèäå

                ¶( rv k )
      ¶t r -              = 0,
                 ¶x k

     à óðàâíåíèå Ýéëåðà (1.5) â âèäå

                      ¶vi 1 ¶P
      ¶t vi = - v k       -      .
                      ¶x ë r ¶xi

     Ï îäñòàâèì äâå ïîñëåäíèå ôîðìóëû â âûðàæåíèå äëÿ èçìåíåíèÿ èì-
ïóëüñà:

                           ¶vi ¶P        ¶( rv k )    ¶P   ¶
      ¶t ( rvi )= - rv k       -    - vi           =-    -     ( rvi vk )=
                           ¶x k ¶xi       ¶x k        ¶xi ¶x k
                ¶P    ¶
      = - dik       -     ( rvi v k )= - ¶ (dik P + rvi vk )
                ¶x k ¶x k                ¶x k

      è ââåäåì òåíçîð ïëîòíîñòè ïîòîêà èìïóëüñà, îïèñûâàþ ù èé ïåðåíîñ
i-îé êîìïîíåíòû èìïóëüñà ÷åðåç ïëîù àäêó, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ k-îé îñè

Страницы