Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

12
ãäå âåëè÷èíà
ik
s =
ikik
p sd
¢
- íàçûâàåòñÿ òåíçîðîì íàïðÿæåíèé, à
ik
s
¢
-
òåíçîðîì âÿçêèõ íàïðÿæåíèé.
Òåíçîð âÿçêèõ íàïðÿæåíèé
ik
s
¢
äîëæåí õàðàêòåðèçîâàòü íåîäíîðîä-
íîñòè ïîëÿ ñêîðîñòè, êîòîðûå ìîæíî îïèñàòü ïðîèçâîäíûìè ïîëÿ ñêîðî-
ñòè
......,,
2
ki
i
k
i
xx
v
x
v
.
Òðåáóåòñÿ óãàäàòü ôîðìó çàâèñèìîñòè òåíçîðà âÿçêèõ íàïðÿæåíèé îò
ýòèõ ïðîèçâîäíûõ. Íà ýòîì ýòàïå äåëàåòñÿ ñàìîå âàæíîå îãðàíè÷åíèå íà
ïóòè ïîëó÷åíèÿ óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. Îíî ñîñòîèò â òîì, ÷òî ó÷èòûâàþòñÿ
òîëüêî ëèíåéíûå êîìáèíàöèè ïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ ïîëÿ ñêîðîñòè. Êàæåò-
ñÿ åñòåñòâåííûì, ÷òî îäíîðîäíîå ïîëå ñêîðîñòè íå ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ
âÿçêèõ íàïðÿæåíèé. Íóæíî, îäíàêî, ó÷åñòü, ÷òî åñòü ñïåöèàëüíûé ñëó÷àé,
êîãäà ïîëå ñêîðîñòè íåîäíîðîäíî, à âÿçêèå íàïðÿæåíèÿ âîçíèêàòü íå
äîëæíû. Ýòî ñëó÷àé òâåðäîòåëüíîãî âðàùåíèÿ æèäêîñòè.
Ñóùåñòâóþò òîëüêî äâå ëèíåéíûå êîìáèíàöèè ïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ,
óäîâëåòâîðÿþùèå ýòîìó òðåáîâàíèþ. Ýòî
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
i
k
k
i
x
v
x
v
è
k
k
x
v
v
=
r
div
(çäåñü è äàëåå ïîäðàçóìåâàåòñÿ ñóììèðîâàíèå ïî ïîâòîðÿþùèìñÿ èí-
äåêñàì).
1
Îáùèé âèä òåíçîðà âòîðîãî ðàíãà, óäîâëåòâîðÿþùåãî ïîñòàâëåííûì
óñëîâèÿì, åñòü
vb
x
v
x
v
a
ik
i
k
k
i
ik
r
divds +
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
=
¢
.
Ïðèíÿòà íåñêîëüêî èíàÿ ôîðìà çàïèñè
1
Óáåäèìñÿ, ÷òî ýòè äâå êîìáèíàöèè ðàâíû íóëþ ïðè òâåðäîòåëüíîì âðàùåíèè æèäêîñòè.
0..0 =
=
=
=W+W-=
+
W-W=
W-W=
W-W=
´W=
z
v
y
v
x
v
äòè
x
v
y
v
xyv
zyv
yzv
rv
z
y
x
zz
y
x
yxz
xzy
zyx
r
r
r
12




     ãäå âåëè÷èíà s ik = pdik - s ik¢ íàçûâàåòñÿ òåíçîðîì íàïðÿæåíèé, à s ik¢ -
òåíçîðîì âÿçêèõ íàïðÿæåíèé.
     Òåíçîð âÿçêèõ íàïðÿæåíèé s ik¢ äîëæåí õàðàêòåðèçîâàòü íåîäíîðîä-
íîñòè ïîëÿ ñêîðîñòè, êîòîðûå ìîæíî îïèñàòü ïðîèçâîäíûìè ïîëÿ ñêîðî-
ñòè

        ¶vi     ¶2 v i
             ,          , ...... .
        ¶x k   ¶xi ¶x k

      Òðåáóåòñÿ óãàäàòü ôîðìó çàâèñèìîñòè òåíçîðà âÿçêèõ íàïðÿæåíèé îò
ýòèõ ïðîèçâîäíûõ. Í à ýòîì ýòàïå äåëàåòñÿ ñàìîå âàæíîå îãðàíè÷åíèå íà
ïóòè ïîëó÷åíèÿ óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. Îíî ñîñòîèò â òîì, ÷òî ó÷èòûâàþ òñÿ
òîëüêî ëèíåéíûå êîìáèíàöèè ïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ ïîëÿ ñêîðîñòè. Êàæåò-
ñÿ åñòåñòâåííûì, ÷òî îäíîðîäíîå ïîëå ñêîðîñòè íå ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ
âÿçêèõ íàïðÿæåíèé. Í óæíî, îäíàêî, ó÷åñòü, ÷òî åñòü ñïåöèàëüíûé ñëó÷àé,
êîãäà ïîëå ñêîðîñòè íåîäíîðîäíî, à âÿçêèå íàïðÿæåíèÿ âîçíèêàòü íå
äîëæíû. Ýòî ñëó÷àé òâåðäîòåëüíîãî âðàù åíèÿ æèäêîñòè.
      Ñóù åñòâóþò òîëüêî äâå ëèíåéíûå êîìáèíàöèè ïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ,
óäîâëåòâîðÿþù èå ýòîìó òðåáîâàíèþ. Ýòî

        æ ¶vi ¶v k ö                       r ¶v
        ç
        ç¶x + ¶x ÷ ÷        è          div v = k
        è k      i ø                          ¶x k

     (çäåñü è äàëåå ïîäðàçóìåâàåòñÿ ñóììèðîâàíèå ïî ïîâòîðÿþ ù èìñÿ èí-
äåêñàì).1
     Îáù èé âèä òåíçîðà âòîðîãî ðàíãà, óäîâëåòâîðÿþ ù åãî ïîñòàâëåííûì
óñëîâèÿì, åñòü
                 æ ¶vi ¶v k ö            r
        s ik¢ = aç
                 ç¶x + ¶x ÷ ÷ + bdik div v .
                 è k      i ø



        Ï ðèíÿòà íåñêîëüêî èíàÿ ôîðìà çàïèñè


1Óáåäèìñÿ, ÷òî ýòè äâå êîìáèíàöèè ðàâíû íóëþ ïðè òâåðäîòåëüíîì âðàù åíèè æèäêîñòè.
r r r
v = W ´r
vx = W y z - W z y
vy = W z y - W x z
vz = W x y - W y x
¶v x ¶v y                          ¶v x ¶v y ¶v z
    +     = - W z + W z = 0 è ò.ä.     =    =     =0
¶y    ¶x                           ¶x    ¶y   ¶z

Страницы