Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 13 стр.

                                                                                            13



               æ ¶vi ¶v k 2         rö            r
               ç¶x + ¶x - 3 dik div v ÷
     s ik¢ = h ç                      ÷+ xdik div v ,            (1.10)
               è k      i             ø

    óäîáíàÿ òåì, ÷òî ñóììà äèàãîíàëüíûõ ÷ëåíîâ â ñêîáêå ðàâíà íóëþ. Â
âûðàæåíèè ïðèñóòñòâóþò äâà êîýôôèöèåíòà:
      h -ñäâèãîâàÿ âÿçêîñòü
      x -îáúåìíàÿ (âòîðàÿ) âÿçêîñòü.
     Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ïðèîáðåòàåò âèä

      æ¶vi      ¶vi ö     ¶P    ¶ ææ ¶vi ¶vk ö 2             rö ¶ æ ¶vk ö
     rç                             ç                          ÷
      ç ¶t + vk ¶x ÷                 ç¶x + ¶x ÷
                    ÷ = - ¶x + ¶x h çç         ÷ - 3 dik div v ÷ + ¶x ççx ¶x ÷÷.   (1.11)
      è           k ø       i    k  èè  k    i ø               ø     i è    k ø

      Êîýôôèöèåíòû âÿçêîñòè çàâèñÿò îò òåìïåðàòóðû è äàâëåíèÿ è íå ÿâ-
ëÿþ òñÿ ïîñòîÿííûìè âäîëü æèäêîñòè. Îäíàêî, âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ìîæíî
ñ÷èòàòü ýòó çàâèñèìîñòü ñëàáîé è âûíîñÿ êîýôôèöèåíòû âÿçêîñòè çà îïå-
ðàòîðû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, ïðèéòè ê âèäó
         r
       é¶v r rù                  r æ hö             r
     r ê + (v Ñ )v ú = - Ñ p + hDv + çx + ÷grad div v ,                   (1.12)
       ë¶t         û                 è   3ø

     êîòîðûé è ïðèíÿòî íàçûâàòü óðàâíåíèåì Í àâüå-Ñòîêñà. Âàæíûì ÷à-
ñòíûì ñëó÷àåì ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè. Òîãäà óðàâíåíèÿ
äâèæåíèÿ (1.1),(1.12) çàïèñûâàþòñÿ â âèäå
      r
     ¶v r r                    r
         + (v Ñ )v = - Ñ P + nDv
                      1
     ¶t               r                                          (1.13)
         r
     div v = 0

     ãäå n = h / r - êîýôôèöèåíò êèíåìàòè÷åñêîé âÿçêîñòè.
     Äëÿ ðåø åíèÿ êîíêðåòíîé çàäà÷è óðàâíåíèÿ äîëæíû áûòü äîïîëíåíû
ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (íàïðèìåð, óñëîâèå ïðèëèïàíèÿ íà òâåðäîé ãðàíè-
öå èëè óñëîâèå îòñóòñòâèÿ êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé íà ñâîáîäíîé ãðàíèöå).
     Îñíîâíûå ïðîáëåìû ðåø åíèÿ óðàâíåíèé Í àâüå-Ñòîêñà ñâÿçàíû ñ íå-
ëèíåéíûì ÷ëåíîì. È çâåñòíî íåáîëüø îå ÷èñëî çàäà÷, â êîòîðûõ ýòîò ÷ëåí
îáðàù àåòñÿ â íóëü è çàäà÷è ïðèâîäÿò ê òî÷íûì ðåø åíèÿì. Ï ðèâåäåì òîëü-
êî äâà õîðîø î èçâåñòíûõ ïðèìåðà òàêèõ çàäà÷.

                                                        Òå÷åíèå Êóýòòà. Ðàññìàòðèâà-
                                                  åòñÿ òå÷åíèå íåñæèìàåìîé æèäêîñòè
                                                  â ãîðèçîíòàëüíîì ñëîå òîëù èíîé d ,
                                                  íèæíÿÿ ãðàíèöà êîòîðîãî íåïîäâèæ-
                                                  íà, à âåðõíÿÿ äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé



              Ðèñ. 1.1.