Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

15
Òå÷åíèå Ïóàçåéëÿ. Âòîðîé
õîðîøî èçâåñòíûé ïðèìåð çàäà÷è î
òå÷åíèè âÿçêîé æèäêîñòè, èìåþùåé
òî÷íîå ðåøåíèå, ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à Ïóà-
çåéëÿ î òå÷åíèè æèäêîñòè â ñëîå ñ
òâåðäûìè ãðàíèöàìè (èëè òðóáå) ïîä
äåéñòâèåì ïðèëîæåííîé ê êðàÿì ðàç-
íîñòè äàâëåíèÿ. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà
ïëîñêèé ãîðèçîíòàëüíûé ñëîé òîëùè-
íîé d2 è äëèíîé
L
, íà êîíöàõ êîòîðî-
ãî çàäàíî äàâëåíèå
1
P è
2
P , ñîîòâåòñò-
âåííî. Êàê è â ïðåäûäóùåé çàäà÷å,
èùåì ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå ( 0=
t
)
òîëüêî äëÿ êîìïîíåíòû ñêîðîñòè
x
v ( 0==
zy
vv ) è ïî òåì æå ïðè÷èíàì
0==
yx
.  ýòîì ñëó÷àå ñíîâà èñ÷åçàåò íåëèíåéíûé ÷ëåí, òàê êàê âîçíè-
êàþùèé ãðàäèåíò ñêîðîñòè íàïðàâëåí ïåðïåíäèêóëÿðíî ñàìîé ñêîðîñòè.
Òîãäà óðàâíåíèå Íàâüå-Ñòîêñà ïðèíèìàåò âèä
0
1
2
2
=
+
-
z
v
x
P
x
n
r
,
à åãî ðåøåíèå, ñ ó÷åòîì ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ( dzv
x
±== ïðè0 ) åñòü
)dz(
L
PP
v
x
22
21
2
-
-
=
h
.
Äëÿ öèëèíäðè÷åñêîé òðóáû ðàäèóñà
R
çàäà÷à ðåøàåòñÿ àíàëîãè÷íî. Â
ýòîì ñëó÷àå îïåðàòîð Ëàïëàñà íóæíî çàïèñàòü â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå
êîîðäèíàò
hL
PP
dr
dv
r
dr
d
r
21
1
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
è åãî ðåøåíèå ïðèìåò âèä
BrCr
L
PP
v ++
-
= ln
4
2
21
h
.
Ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ 0
=
C , òàê êàê ïðè 0
=
r çíà÷åíèå ñêîðîñòè
äîëæíî áûòü êîíå÷íî. Îïðåäåëèâ âòîðóþ êîíñòàíòó èç óñëîâèÿ ïðèëèïà-
íèÿ íà ñòåíêå òðóáû, ïîëó÷èì
Ðèñ.
1.2.
                                                                             15



                                              Òå÷åíèåÏ óàçåéëÿ.       Âòîðîé
                                      õîðîø î èçâåñòíûé ïðèìåð çàäà÷è î
                                      òå÷åíèè âÿçêîé æèäêîñòè, èìåþ ù åé
                                      òî÷íîå ðåø åíèå, ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à Ï óà-
                                      çåéëÿ î òå÷åíèè æèäêîñòè â ñëîå ñ
                                      òâåðäûìè ãðàíèöàìè (èëè òðóáå) ïîä
                                      äåéñòâèåì ïðèëîæåííîé ê êðàÿì ðàç-
                                      íîñòè äàâëåíèÿ. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà
                                      ïëîñêèé ãîðèçîíòàëüíûé ñëîé òîëù è-
                                      íîé 2d è äëèíîé L , íà êîíöàõ êîòîðî-
                                      ãî çàäàíî äàâëåíèå P1 è P2 , ñîîòâåòñò-
                Ðèñ. 1.2.
                                      âåííî. Êàê è â ïðåäûäóù åé çàäà÷å,
                                      èù åì ñòàöèîíàðíîå ðåø åíèå ( ¶t = 0 )
òîëüêî äëÿ êîìïîíåíòû ñêîðîñòè v x ( v y = v z = 0 ) è ïî òåì æå ïðè÷èíàì
¶x = ¶y = 0 .  ýòîì ñëó÷àå ñíîâà èñ÷åçàåò íåëèíåéíûé ÷ëåí, òàê êàê âîçíè-
êàþ ù èé ãðàäèåíò ñêîðîñòè íàïðàâëåí ïåðïåíäèêóëÿðíî ñàìîé ñêîðîñòè.
Òîãäà óðàâíåíèå Í àâüå-Ñòîêñà ïðèíèìàåòâèä

          1 ¶P    ¶2 v
      -        + n 2x = 0 ,
          r ¶x    ¶z

     àåãî ðåø åíèå, ñ ó÷åòîì ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ( v x = 0 ïðè z = ±d ) åñòü

            P1 - P2 2
     vx =          ( z - d2 ).
             2hL

     Äëÿ öèëèíäðè÷åñêîé òðóáû ðàäèóñà R çàäà÷à ðåø àåòñÿ àíàëîãè÷íî. Â
ýòîì ñëó÷àå îïåðàòîð Ëàïëàñà íóæíî çàïèñàòü â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå
êîîðäèíàò

      1 d æ dv ö P1 - P2
           çr ÷ =
      r dr è dr ø  Lh
     è åãî ðåø åíèå ïðèìåò âèä
           P1 - P2 2
     v=           r + C lnr + B .
            4hL

     Ï îñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ C = 0 , òàê êàê ïðè r = 0 çíà÷åíèå ñêîðîñòè
äîëæíî áûòü êîíå÷íî. Îïðåäåëèâ âòîðóþ êîíñòàíòó èç óñëîâèÿ ïðèëèïà-
íèÿ íà ñòåíêåòðóáû, ïîëó÷èì

Страницы