Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

17
Ïîäñòàâëÿÿ ýòè ñîîòíîøåíèÿ â óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, ïîëó÷èì
( )
,0
~
div
~
~~~
~
~
~
~
~
2
222
=
D+Ñ-=Ñ+
v
v
L
V
P
L
V
vv
L
V
t
v
L
V
r
rrr
r
n
à ñîêðàùàÿ ïîäîáíûå ìíîæèòåëè è îïóñêàÿ òèëüäû, ïðèõîäèì ê
óðàâíåíèÿì
( )
,0div
1
=
D+-Ñ=Ñ+
v
v
R
Pvv
t
v
r
rrr
r
(1.14)
ãäå áåçðàçìåðíàÿ âåëè÷èíà
n
VL
R = íàçûâàåòñÿ ÷èñëîì Ðåéíîëüäñà.
Ýòî ÷èñëî õàðàêòåðèçóåò îòíîøåíèå èíåðöèîííûõ ñèë ê âÿçêèì (íåëèíåé-
íîãî ÷ëåíà ê âÿçêîìó) è èìåííî îíî ÿâëÿåòñÿ êðèòåðèåì, îïðåäåëÿþùèì
ýòàïû ïåðåõîäà îò ëàìèíàðíûõ òå÷åíèé ê òóðáóëåíòíûì.
Âàæíî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ïðèâåäåííûé ñïîñîá îáåçðàçìåðèâàíèÿ
óðàâíåíèé íå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííî âîçìîæíûì. Íàïðèìåð, â êà÷åñòâå åäè-
íèöû âðåìåíè ìîæíî âçÿòü âåëè÷èíó n/
2
L , õàðàêòåðèçóþùóþ âðåìÿ âÿçêîé
äèññèïàöèè, à â êà÷åñòâå åäèíèöû ñêîðîñòè - âåëè÷èíó L/
n
. Ïåðåõîäÿ ê
áåçðàçìåðíûì ïåðåìåííûì, â ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷èì óðàâíåíèå
( )
vPvv
t
v
rrr
r
D+-Ñ=Ñ+
,
íå ñîäåðæàùåå êàêèõ-ëèáî ïàðàìåòðîâ. Íå ñëåäóåò äóìàòü, ÷òî òàêèì
îáðàçîì ìû ïîëó÷èëè óðàâíåíèå, ëèøåííîå ïàðàìåòðà.  äåéñòâèòåëüíî-
ñòè, ðîëü ÷èñëà Ðåéíîëüäñà âûïîëíÿåò òåïåðü áåçðàçìåðíàÿ ñêîðîñòü. Åñëè
ïðè ïåðâîì ñïîñîáå îáåçðàçìåðèâàíèÿ áåçðàçìåðíàÿ ñêîðîñòü ïî îïðåäå-
ëåíèþ ëåæàëà â èíòåðâàëå [0,1] (èëè âáëèçè íåãî), òî ïðè âòîðîì ñïîñîáå
åäèíè÷íîé ÿâëÿåòñÿ ñêîðîñòü âÿçêîãî ïåðåíîñà, à áåçðàçìåðíàÿ ñêîðîñòü
ìîæåò äîñòèãàòü âåëè÷èí ïîðÿäêà
nn
VL
L
v
v »=
/
~
,
òî åñòü ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì ÷èñëà Ðåéíîëüäñà.
Ñ ÷èñëîì Ðåéíîëüäñà òåñíî ñâÿçàí âîïðîñ î ïîäîáèè ðàçëè÷íûõ òå-
÷åíèé, òî åñòü âîïðîñ î òîì, êàêèì êðèòåðèÿì äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ìî-
äåëü èññëåäóåìîãî òå÷åíèÿ. Ïóñòü ðàññìàòðèâàåòñÿ îïðåäåëåííûé òèï òå÷å-
                                                                              17



     Ï îäñòàâëÿÿ ýòè ñîîòíîø åíèÿ â óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, ïîëó÷èì
            ~r

      L ¶t
            ~  +
                 L
                  ( )
     V 2 ¶v V 2 ~r ~ ~r
                   v Ñ v = -
                             V2 ~~
                             L
                                       V ~ ~r
                                Ñ P + n 2 Dv
                                       L
         ~r
     div v = 0,

     à ñîêðàù àÿ ïîäîáíûå ìíîæèòåëè è îïóñêàÿ òèëüäû, ïðèõîäèì ê
óðàâíåíèÿì
      r
     ¶v r r                 1 r
         + (v Ñ )v = - Ñ P + Dv
     ¶t                     R                             (1.14)
         r
     div v = 0,

                                                VL
     ãäå áåçðàçìåðíàÿ âåëè÷èíà R =                 íàçûâàåòñÿ ÷èñëîì Ðåéíîëüäñà.
                                                n
Ýòî ÷èñëî õàðàêòåðèçóåò îòíîø åíèå èíåðöèîííûõ ñèë ê âÿçêèì (íåëèíåé-
íîãî ÷ëåíà ê âÿçêîìó) è èìåííî îíî ÿâëÿåòñÿ êðèòåðèåì, îïðåäåëÿþ ù èì
ýòàïû ïåðåõîäà îò ëàìèíàðíûõ òå÷åíèé ê òóðáóëåíòíûì.
     Âàæíî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ïðèâåäåííûé ñïîñîá îáåçðàçìåðèâàíèÿ
óðàâíåíèé íå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííî âîçìîæíûì. Í àïðèìåð, â êà÷åñòâå åäè-
íèöû âðåìåíè ìîæíî âçÿòü âåëè÷èíó L2 / n , õàðàêòåðèçóþ ù óþ âðåìÿ âÿçêîé
äèññèïàöèè, à â êà÷åñòâå åäèíèöû ñêîðîñòè - âåëè÷èíó n / L . Ï åðåõîäÿ ê
áåçðàçìåðíûì ïåðåìåííûì, â ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷èì óðàâíåíèå
      r
     ¶v r r                  r
        + (v Ñ )v = - Ñ P + Dv ,
     ¶t

      íå ñîäåðæàù åå êàêèõ-ëèáî ïàðàìåòðîâ. Í å ñëåäóåò äóìàòü, ÷òî òàêèì
îáðàçîì ìû ïîëó÷èëè óðàâíåíèå, ëèø åííîå ïàðàìåòðà.  äåéñòâèòåëüíî-
ñòè, ðîëü ÷èñëà Ðåéíîëüäñà âûïîëíÿåò òåïåðü áåçðàçìåðíàÿ ñêîðîñòü. Åñëè
ïðè ïåðâîì ñïîñîáå îáåçðàçìåðèâàíèÿ áåçðàçìåðíàÿ ñêîðîñòü ïî îïðåäå-
ëåíèþ ëåæàëà â èíòåðâàëå [0,1] (èëè âáëèçè íåãî), òî ïðè âòîðîì ñïîñîáå
åäèíè÷íîé ÿâëÿåòñÿ ñêîðîñòü âÿçêîãî ïåðåíîñà, à áåçðàçìåðíàÿ ñêîðîñòü
ìîæåòäîñòèãàòü âåëè÷èí ïîðÿäêà

           v   VL
     v~ =    »    ,
          n/L n

     òî åñòü ÿâëÿåòñÿàíàëîãîì ÷èñëà Ðåéíîëüäñà.

      Ñ ÷èñëîì Ðåéíîëüäñà òåñíî ñâÿçàí âîïðîñ î ïîäîáèè ðàçëè÷íûõ òå-
÷åíèé, òî åñòü âîïðîñ î òîì, êàêèì êðèòåðèÿì äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ìî-
äåëü èññëåäóåìîãî òå÷åíèÿ. Ï óñòü ðàññìàòðèâàåòñÿ îïðåäåëåííûé òèï òå÷å-

Страницы