Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

11
kiikik
vvP rd +=Õ . (1.7)
Òîãäà óðàâíåíèå äëÿ èçìåíåíèÿ èìïóëüñà çàïèøåòñÿ â âèäå
( )
k
ik
i
x
v
t
Õ
-=
r , (1.8)
à äëÿ êîíå÷íîãî îáúåìà
òòò
Õ-=
Õ
-=
S
kik
V
k
ik
i
V
dSVd
x
dVv
t
r .
Íàìè íå èñïîëüçîâàí çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. Íàïîìíèì, ÷òî ðàñ-
ñìàòðèâàåòñÿ èäåàëüíàÿ æèäêîñòü, à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â æèäêîñòè îòñóòñò-
âóþò òåïëîîáìåí è òðåíèå.  òàêîì ñëó÷àå äâèæåíèå àäèàáàòè÷íî â êàæ-
äîé æèäêîé ÷àñòèöå. Ñëåäîâàòåëüíî, çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè âûëèâàåòñÿ
â óòâåðæäåíèå, ÷òî ýíòðîïèÿ êàæäîãî æèäêîãî ýëåìåíòà îñòàåòñÿ ïîñòîÿí-
íîé
0=
dt
dS
.
Ïåðåõîäÿ îò ïåðåìåííûõ Ëàãðàíæà ê ïåðåìåííûì Ýéëåðà, ïîëó÷àåì
( )
0=Ñ+
Sv
t
S
. (1.9)
1.1.3 Ðåàëüíàÿ æèäêîñòü
Ðåàëüíàÿ æèäêîñòü - ýòî æèäêîñòü ñ âÿçêîñòüþ (âíóòðåííèì òðåíèåì)
è òåïëîïðîâîäíîñòüþ. Íà÷íåì ñ ðàññìîòðåíèÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ äëÿ
èçîòåðìè÷åñêîé æèäêîñòè è äëÿ íà÷àëà åùå ðàç íàïîìíèì, ÷òî óðàâíåíèå
íåïðåðûâíîñòè (1.1) ñïðàâåäëèâî è äëÿ ðåàëüíîé æèäêîñòè, òàê êàê åãî âû-
âîä îñíîâûâàëñÿ òîëüêî íà çàêîíå ñîõðàíåíèÿ âåùåñòâà.Äàëåå âîñïîëüçó-
åìñÿ óðàâíåíèåì Ýéëåðà, çàïèñàííûì â ôîðìå çàêîíà äëÿ ïåðåíîñà èìïóëü-
ñà (1.7)-(1.8), è ïîïûòàåìñÿ äîïèñàòü â íåãî ñëàãàåìûå, îòâå÷àþùèå çà ïå-
ðåíîñ èìïóëüñà â ðåçóëüòàòå äåéñòâèÿ âÿçêèõ ñèë
( ) ( )
( )
ikikki
k
ikki
k
i
pvv
x
âÿçêîñòèçàèçèìïóëüñàïîòîêpvv
x
v
t
sdr
drr
¢
-+
-=
=-++
-=
                                                                                      11



     Õ    ik   = dik P + rvi v k .                                      (1.7)
     Òîãäà óðàâíåíèå äëÿ èçìåíåíèÿ èìïóëüñàçàïèø åòñÿ â âèäå

          ¶              ¶ Õ ik
             ( rv i )= -             ,                                    (1.8)
          ¶t              ¶x k
     à äëÿ êîíå÷íîãî îáúåìà

          ¶                  ¶ Õ ik
     ò¶t rv dV = ò-
     V
                 i
                         V
                              ¶x k
                                    dV = - òÕ
                                           S
                                                ik   dS k .


      Í àìè íå èñïîëüçîâàí çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. Í àïîìíèì, ÷òî ðàñ-
ñìàòðèâàåòñÿ èäåàëüíàÿ æèäêîñòü, à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â æèäêîñòè îòñóòñò-
âóþ ò òåïëîîáìåí è òðåíèå.  òàêîì ñëó÷àå äâèæåíèå àäèàáàòè÷íî â êàæ-
äîé æèäêîé ÷àñòèöå. Ñëåäîâàòåëüíî, çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè âûëèâàåòñÿ
â óòâåðæäåíèå, ÷òî ýíòðîïèÿ êàæäîãî æèäêîãî ýëåìåíòà îñòàåòñÿ ïîñòîÿí-
íîé

      dS
         = 0.
      dt

     Ï åðåõîäÿ îò ïåðåìåííûõ Ëàãðàíæà ê ïåðåìåííûì Ýéëåðà, ïîëó÷àåì

         ¶S
            + (vÑ )S = 0 .                                              (1.9)
         ¶t




               1.1.3 Ðåàëüíàÿ æèäêîñòü
      Ðåàëüíàÿ æèäêîñòü - ýòî æèäêîñòü ñ âÿçêîñòüþ (âíóòðåííèì òðåíèåì)
è òåïëîïðîâîäíîñòüþ . Í à÷íåì ñ ðàññìîòðåíèÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ äëÿ
èçîòåðìè÷åñêîé æèäêîñòè è äëÿ íà÷àëà åù å ðàç íàïîìíèì, ÷òî óðàâíåíèå
íåïðåðûâíîñòè (1.1) ñïðàâåäëèâî è äëÿ ðåàëüíîé æèäêîñòè, òàê êàê åãî âû-
âîä îñíîâûâàëñÿ òîëüêî íà çàêîíå ñîõðàíåíèÿ âåù åñòâà.Äàëåå âîñïîëüçó-
åìñÿ óðàâíåíèåì Ýéëåðà, çàïèñàííûì â ôîðìåçàêîíà äëÿ ïåðåíîñà èìïóëü-
ñà (1.7)-(1.8), è ïîïûòàåìñÿ äîïèñàòü â íåãî ñëàãàåìûå, îòâå÷àþ ù èå çà ïå-
ðåíîñ èìïóëüñà â ðåçóëüòàòå äåéñòâèÿ âÿçêèõ ñèë

                ¶
                   (rv i )= - ¶ (rv iv k + pdik + ïîòîê èìïóëüñà èç - çà âÿçêîñòè)=
                ¶t           ¶x k
                                               ¶
                                         =-        (rv iv k + pdik - s ik¢ )
                                              ¶x k

Страницы