Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

9
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
ò
º 0dV
dt
d
r
(èíòåãðàë áåðåòñÿ ïî æèäêîé ÷àñòèöå, òî
åñòü ïî çàäàííîìó êîëè÷åñòâó æèäêîñòè, à íå ïî çàäàííîìó îáúåìó), ìîæíî
ïåðåïèñàòü óðàâíåíèå â âèäå
( ) ( )
ò ò
Ñ-=
V
dVPgv
dt
d
rr
rr
è, ñíîâà èñõîäÿ èç ïðîèçâîëüíîãî âûáîðà îáúåìà ÷àñòèöû, ïåðåéòè ê
äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå
r
P
g
dt
vd
Ñ
-=
r
r
. (1.3)
Âõîäÿùàÿ â óðàâíåíèå ïðîèçâîäíàÿ
dt
vd
r
- ýòî ñóáñòàíöèîíàëüíàÿ
ïðîèçâîäíàÿ, êîòîðàÿ îïèñûâàåò èçìåíåíèå ñêîðîñòè æèäêîé ÷àñòèöû.
Ðàññìîòðåíèå äâèæåíèÿ îòäåëüíûõ æèäêèõ ÷àñòèö íàçûâàåòñÿ ïîäõîäîì
Ëàãðàíæà ê îïèñàíèþ äâèæåíèÿ æèäêîñòè.  áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ïðåä-
ïî÷òèòåëüíûì ÿâëÿåòñÿ ïîäõîä Ýéëåðà, êîòîðûé çàêëþ÷àåòñÿ â îïèñàíèè
õàðàêòåðèñòèê æèäêîñòè â çàäàííîé òî÷êå. ×òîáû ïîëó÷èòü óðàâíåíèå
äâèæåíèÿ â ôîðìå Ýéëåðà, íóæíî ïîëó÷èòü ñâÿçü ìåæäó ñóáñòàíöèîíàëü-
íîé è ëîêàëüíîé ïðîèçâîäíûìè. Çàïèøåì ïðèðàùåíèå ñêîðîñòè
dz
z
v
dy
y
v
dx
x
v
dt
t
v
vd
+
+
+
=
r
r
è ïîëó÷èì èç íåãî ñâÿçü ñóáñòàíöèîíàëüíîé (ïîëíîé) ïðîèçâîäíîé ïî
âðåìåíè ñ ÷àñòíîé ïðîèçâîäíóþ ñêîðîñòè ïî âðåìåíè (èçìåíåíèå ñêîðîñòè
â çàäàííîé òî÷êå)
z
v
v
y
v
v
x
v
v
dt
v
dt
dz
z
v
dt
dy
y
v
dt
dx
x
v
t
v
dt
vd
zyx
+
+
+
=
+
+
+
=
r
r
r
,
èëè
( )
vv
t
v
dt
vd rr
r
r
Ñ+
= . (1.4)
Èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííîå ñîîòíîøåíèå, ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ Ýéëåðà,
ïîëó÷åííîìó èì åùå â 1755 ã.:
( )
gPvv
t
v
rrr
r
+Ñ-=Ñ+
r
1
. (1.5)
                                                                                       9


                            dr
     Ó÷èòûâàÿ, ÷òî         òdt dV º 0   (èíòåãðàë áåðåòñÿ ïî æèäêîé ÷àñòèöå, òî
åñòü ïî çàäàííîìó êîëè÷åñòâó æèäêîñòè, à íå ïî çàäàííîìó îáúåìó), ìîæíî
ïåðåïèñàòü óðàâíåíèå â âèäå

                                      d r        r
                                  òr dt (v )= ò(rg - Ñ P )dV
                                             V



    è, ñíîâà èñõîäÿ èç ïðîèçâîëüíîãî âûáîðà îáúåìà ÷àñòèöû, ïåðåéòè ê
äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå
      r
     dv r Ñ P
        =g-   .                                          (1.3)
     dt     r

                                        r
                                       dv
     Âõîäÿù àÿ â óðàâíåíèå ïðîèçâîäíàÿ    -                        ýòî ñóáñòàíöèîíàëüíàÿ
                                       dt
ïðîèçâîäíàÿ, êîòîðàÿ îïèñûâàåò èçìåíåíèå ñêîðîñòè æèäêîé ÷àñòèöû.
Ðàññìîòðåíèå äâèæåíèÿ îòäåëüíûõ æèäêèõ ÷àñòèö íàçûâàåòñÿ ïîäõîäîì
Ëàãðàíæà ê îïèñàíèþ äâèæåíèÿ æèäêîñòè.  áîëüø èíñòâå ñëó÷àåâ ïðåä-
ïî÷òèòåëüíûì ÿâëÿåòñÿ ïîäõîä Ýéëåðà, êîòîðûé çàêëþ ÷àåòñÿ â îïèñàíèè
õàðàêòåðèñòèê æèäêîñòè â çàäàííîé òî÷êå. ×òîáû ïîëó÷èòü óðàâíåíèå
äâèæåíèÿ â ôîðìå Ýéëåðà, íóæíî ïîëó÷èòü ñâÿçü ìåæäó ñóáñòàíöèîíàëü-
íîé è ëîêàëüíîé ïðîèçâîäíûìè. Çàïèø åì ïðèðàù åíèå ñêîðîñòè
                                    r
                               r ¶v        ¶v      ¶v      ¶v
                              dv =    dt +    dx +    dy +    dz
                                   ¶t      ¶x      ¶y      ¶z

     è ïîëó÷èì èçíåãî ñâÿçü ñóáñòàíöèîíàëüíîé (ïîëíîé) ïðîèçâîäíîé ïî
âðåìåíè ñ ÷àñòíîé ïðîèçâîäíóþ ñêîðîñòè ïî âðåìåíè (èçìåíåíèå ñêîðîñòè
â çàäàííîé òî÷êå)
                 r    r                    r
                dv ¶v ¶v dx ¶v dy ¶v dz ¶v        ¶v      ¶v      ¶v
                   =    +    +     +     =   + vx    + vy    + vz    ,
                dt   ¶t ¶x dt ¶y dt ¶z dt dt      ¶x      ¶y      ¶z
     èëè
      r  r
     dv ¶v r r
        =    + (v Ñ )v .                                  (1.4)
     dt   ¶t

     È ñïîëüçóÿ ïîëó÷åííîå ñîîòíîø åíèå, ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ Ýéëåðà,
ïîëó÷åííîìó
      r
             èì åù å â 1755 ã.:
     ¶v r r                 r
        + (v Ñ )v = - Ñ P + g .
                     1
                                                               (1.5)
     ¶t              r

Страницы