ВУЗ:
Составители:
9
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
ò
º 0dV
dt
d
r
(èíòåãðàë áåðåòñÿ ïî æèäêîé ÷àñòèöå, òî
åñòü ïî çàäàííîìó êîëè÷åñòâó æèäêîñòè, à íå ïî çàäàííîìó îáúåìó), ìîæíî
ïåðåïèñàòü óðàâíåíèå â âèäå
( ) ( )
ò ò
Ñ-=
V
dVPgv
dt
d
rr
rr
è, ñíîâà èñõîäÿ èç ïðîèçâîëüíîãî âûáîðà îáúåìà ÷àñòèöû, ïåðåéòè ê
äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå
r
P
g
dt
vd
Ñ
-=
r
r
. (1.3)
Âõîäÿùàÿ â óðàâíåíèå ïðîèçâîäíàÿ
dt
vd
r
- ýòî ñóáñòàíöèîíàëüíàÿ
ïðîèçâîäíàÿ, êîòîðàÿ îïèñûâàåò èçìåíåíèå ñêîðîñòè æèäêîé ÷àñòèöû.
Ðàññìîòðåíèå äâèæåíèÿ îòäåëüíûõ æèäêèõ ÷àñòèö íàçûâàåòñÿ ïîäõîäîì
Ëàãðàíæà ê îïèñàíèþ äâèæåíèÿ æèäêîñòè.  áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ïðåä-
ïî÷òèòåëüíûì ÿâëÿåòñÿ ïîäõîä Ýéëåðà, êîòîðûé çàêëþ÷àåòñÿ â îïèñàíèè
õàðàêòåðèñòèê æèäêîñòè â çàäàííîé òî÷êå. ×òîáû ïîëó÷èòü óðàâíåíèå
äâèæåíèÿ â ôîðìå Ýéëåðà, íóæíî ïîëó÷èòü ñâÿçü ìåæäó ñóáñòàíöèîíàëü-
íîé è ëîêàëüíîé ïðîèçâîäíûìè. Çàïèøåì ïðèðàùåíèå ñêîðîñòè
dz
z
v
dy
y
v
dx
x
v
dt
t
v
vd
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=
r
r
è ïîëó÷èì èç íåãî ñâÿçü ñóáñòàíöèîíàëüíîé (ïîëíîé) ïðîèçâîäíîé ïî
âðåìåíè ñ ÷àñòíîé ïðîèçâîäíóþ ñêîðîñòè ïî âðåìåíè (èçìåíåíèå ñêîðîñòè
â çàäàííîé òî÷êå)
z
v
v
y
v
v
x
v
v
dt
v
dt
dz
z
v
dt
dy
y
v
dt
dx
x
v
t
v
dt
vd
zyx
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
=
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=
r
r
r
,
èëè
( )
vv
t
v
dt
vd rr
r
r
Ñ+
¶
¶
= . (1.4)
Èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííîå ñîîòíîøåíèå, ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ Ýéëåðà,
ïîëó÷åííîìó èì åùå â 1755 ã.:
( )
gPvv
t
v
rrr
r
+Ñ-=Ñ+
¶
¶
r
1
. (1.5)
9 dr Ó÷èòûâàÿ, ÷òî òdt dV º 0 (èíòåãðàë áåðåòñÿ ïî æèäêîé ÷àñòèöå, òî åñòü ïî çàäàííîìó êîëè÷åñòâó æèäêîñòè, à íå ïî çàäàííîìó îáúåìó), ìîæíî ïåðåïèñàòü óðàâíåíèå â âèäå d r r òr dt (v )= ò(rg - Ñ P )dV V è, ñíîâà èñõîäÿ èç ïðîèçâîëüíîãî âûáîðà îáúåìà ÷àñòèöû, ïåðåéòè ê äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå r dv r Ñ P =g- . (1.3) dt r r dv Âõîäÿù àÿ â óðàâíåíèå ïðîèçâîäíàÿ - ýòî ñóáñòàíöèîíàëüíàÿ dt ïðîèçâîäíàÿ, êîòîðàÿ îïèñûâàåò èçìåíåíèå ñêîðîñòè æèäêîé ÷àñòèöû. Ðàññìîòðåíèå äâèæåíèÿ îòäåëüíûõ æèäêèõ ÷àñòèö íàçûâàåòñÿ ïîäõîäîì Ëàãðàíæà ê îïèñàíèþ äâèæåíèÿ æèäêîñòè.  áîëüø èíñòâå ñëó÷àåâ ïðåä- ïî÷òèòåëüíûì ÿâëÿåòñÿ ïîäõîä Ýéëåðà, êîòîðûé çàêëþ ÷àåòñÿ â îïèñàíèè õàðàêòåðèñòèê æèäêîñòè â çàäàííîé òî÷êå. ×òîáû ïîëó÷èòü óðàâíåíèå äâèæåíèÿ â ôîðìå Ýéëåðà, íóæíî ïîëó÷èòü ñâÿçü ìåæäó ñóáñòàíöèîíàëü- íîé è ëîêàëüíîé ïðîèçâîäíûìè. Çàïèø åì ïðèðàù åíèå ñêîðîñòè r r ¶v ¶v ¶v ¶v dv = dt + dx + dy + dz ¶t ¶x ¶y ¶z è ïîëó÷èì èçíåãî ñâÿçü ñóáñòàíöèîíàëüíîé (ïîëíîé) ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè ñ ÷àñòíîé ïðîèçâîäíóþ ñêîðîñòè ïî âðåìåíè (èçìåíåíèå ñêîðîñòè â çàäàííîé òî÷êå) r r r dv ¶v ¶v dx ¶v dy ¶v dz ¶v ¶v ¶v ¶v = + + + = + vx + vy + vz , dt ¶t ¶x dt ¶y dt ¶z dt dt ¶x ¶y ¶z èëè r r dv ¶v r r = + (v Ñ )v . (1.4) dt ¶t È ñïîëüçóÿ ïîëó÷åííîå ñîîòíîø åíèå, ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ Ýéëåðà, ïîëó÷åííîìó r èì åù å â 1755 ã.: ¶v r r r + (v Ñ )v = - Ñ P + g . 1 (1.5) ¶t r
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »