Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

21
1.2 Óñòîé÷èâîñòü òå÷åíèé
Âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè òîãî èëè èíîãî ñîñòîÿíèÿ (ðåøåíèÿ, ðåæèìà)
âîçíèêàåò â ñàìûõ ðàçíûõ çàäà÷àõ. Äîñòàòî÷íî âñïîìíèòü ïðîñòåéøèé
ïðèìåð îá óñòîé÷èâîñòè øàðèêà, ëåæàùåãî íà ðàçëè÷íûõ ïîâåðõíîñòÿõ
(ðèñ.1.7).  ïåðâîì ñëó÷àå ïîëîæåíèå øàðèêà àáñîëþòíî óñòîé÷èâî, òî åñòü
ïðè ëþáîì êîíå÷íîì âîçäåéñòâèè øàðèê ïî îêîí÷àíèè äåéñòâèÿ âîçìó-
ùàþùåé ñèëû âîçâðàùàåòñÿ â èñõîäíîå ñîñòîÿíèå. Âî âòîðîì ñëó÷àå ïîëî-
æåíèå øàðèêà àáñîëþòíî íåóñòîé÷èâî - ëþáîå, ñêîëü óãîäíî ìàëîå âîçìó-
ùåíèå, áåçâîçâðàòíî óâîäèò åãî èç íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ. Òðåòèé ñëó÷àé
èëëþñòðèðóåò ïðèìåð ñîñòîÿíèÿ, óñòîé÷èâîãî ïî îòíîøåíèþ ê ìàëûì âîç-
ìóùåíèÿì, íî íàðóøàþùå-
ãîñÿ, åñëè âîçìóùåíèÿ ïðå-
âûøàþò êðèòè÷åñêóþ âåëè-
÷èíó.
Íàñ èíòåðåñóåò âîïðîñ
îá óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàð-
íûõ òå÷åíèé. Äëÿ êîíêðåò-
íîñòè áóäåì ãîâîðèòü î òå-
÷åíèè Ïóàçåéëÿ. Âîçìóùå-
íèÿ â ðåàëüíûõ òå÷åíèÿõ ñóùåñòâóþò âñåãäà. Èõ èñòî÷íèêîì ñëóæàò øåðî-
õîâàòîñòè ñòåíîê, âõîäíûå ó÷àñòêè (áåñêîíå÷íûõ òðóá íåò), ïðîñòî ôëóê-
òóàöèè õàðàêòåðèñòèê ñàìîé æèäêîñòè è ò.ä. Íóæíî îòâåòèòü íà âîïðîñ î
òîì, êàêîå âîçìóùåíèå ÿâëÿåòñÿ ñàìûì îïàñíûì è ãäå òà ãðàíèöà, ïðè ïðå-
âûøåíèè êîòîðîé ýòî âîçìóùåíèå ïðèâåäåò ê ðàçðóøåíèþ ñóùåñòâóþùåãî
òå÷åíèÿ.
Èòàê, èìååì òå÷åíèå íåñæèìàåìîé æèäêîñòè, äëÿ êîòîðîé çàïèøåì
óðàâíåíèÿ Íàâüå-Ñòîêñà â áåçðàçìåðíîé ôîðìå (1.14)
( )
.
0
div
,
1
=
D+-Ñ=Ñ+
v
v
R
Pvv
t
v
r
rrr
r
Ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå çàäà÷è (èìååì â âèäó òå÷åíèå Ïóàçåéëÿ, õîòÿ
äî îïðåäåëåííîãî ýòàïà âñå ðàññóæäåíèÿ íå çàâèñÿò îò êîíêðåòíîãî âèäà
ðåøåíèÿ) îáîçíà÷èì êàê
0
v ,
0
P . Ýòî ðåøåíèå, â ñâîþ î÷åðåäü, óäîâëåòâîðÿ-
åò óðàâíåíèÿì
( )
.0div
,
1
0
0000
=
D+-Ñ=Ñ
v
v
R
Pvv
r
rrr
(1.15)
1.7.
                                                                          21




          1.2 Óñòîé÷èâîñòü òå÷åíèé

      Âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè òîãî èëè èíîãî ñîñòîÿíèÿ (ðåø åíèÿ, ðåæèìà)
âîçíèêàåò â ñàìûõ ðàçíûõ çàäà÷àõ. Äîñòàòî÷íî âñïîìíèòü ïðîñòåéø èé
ïðèìåð îá óñòîé÷èâîñòè ø àðèêà, ëåæàù åãî íà ðàçëè÷íûõ ïîâåðõíîñòÿõ
(ðèñ.1.7).  ïåðâîì ñëó÷àå ïîëîæåíèå ø àðèêà àáñîëþòíî óñòîé÷èâî, òî åñòü
ïðè ëþáîì êîíå÷íîì âîçäåéñòâèè ø àðèê ïî îêîí÷àíèè äåéñòâèÿ âîçìó-
ù àþ ù åé ñèëû âîçâðàù àåòñÿ â èñõîäíîå ñîñòîÿíèå. Âî âòîðîì ñëó÷àå ïîëî-
æåíèå ø àðèêà àáñîëþ òíî íåóñòîé÷èâî - ëþáîå, ñêîëü óãîäíî ìàëîå âîçìó-
ù åíèå, áåçâîçâðàòíî óâîäèò åãî èç íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ. Òðåòèé ñëó÷àé
èëëþ ñòðèðóåò ïðèìåð ñîñòîÿíèÿ, óñòîé÷èâîãî ïî îòíîø åíèþ ê ìàëûì âîç-
ìóù åíèÿì, íî íàðóø àþ ù å-
ãîñÿ, åñëè âîçìóù åíèÿ ïðå-
âûøàþ ò êðèòè÷åñêóþ âåëè-
÷èíó.
      Í àñ èíòåðåñóåò âîïðîñ
îá óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàð-
íûõ òå÷åíèé. Äëÿ êîíêðåò-                      Ðèñ. 1.7.
íîñòè áóäåì ãîâîðèòü î òå-
÷åíèè Ï óàçåéëÿ. Âîçìóù å-
íèÿ â ðåàëüíûõ òå÷åíèÿõ ñóù åñòâóþ ò âñåãäà. È õ èñòî÷íèêîì ñëóæàò ø åðî-
õîâàòîñòè ñòåíîê, âõîäíûå ó÷àñòêè (áåñêîíå÷íûõ òðóá íåò), ïðîñòî ôëóê-
òóàöèè õàðàêòåðèñòèê ñàìîé æèäêîñòè è ò.ä. Í óæíî îòâåòèòü íà âîïðîñ î
òîì, êàêîå âîçìóù åíèå ÿâëÿåòñÿ ñàìûì îïàñíûì è ãäå òà ãðàíèöà, ïðè ïðå-
âûøåíèè êîòîðîé ýòî âîçìóù åíèå ïðèâåäåò ê ðàçðóø åíèþ ñóù åñòâóþ ù åãî
òå÷åíèÿ.
      È òàê, èìååì òå÷åíèå íåñæèìàåìîé æèäêîñòè, äëÿ êîòîðîé çàïèø åì
óðàâíåíèÿ Í àâüå-Ñòîêñà â áåçðàçìåðíîé ôîðìå(1.14)
      r
     ¶v r r                 1 r
         + (v Ñ )v = - Ñ P + Dv ,
     ¶t                     R
         r
     div v = 0.

     Ñòàöèîíàðíîå ðåø åíèå çàäà÷è (èìååì â âèäó òå÷åíèå Ï óàçåéëÿ, õîòÿ
äî îïðåäåëåííîãî ýòàïà âñå ðàññóæäåíèÿ íå çàâèñÿò îò êîíêðåòíîãî âèäà
ðåø åíèÿ) îáîçíà÷èì êàê v0 , P0 . Ýòî ðåø åíèå, â ñâîþ î÷åðåäü, óäîâëåòâîðÿ-
åòóðàâíåíèÿì

     (vr0 Ñ )vr0 = - Ñ P0 +   1 r
                                Dv 0 ,
                              R                (1.15)
         r
     div v0 = 0.

Страницы