Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

22
Ïîëÿ ñêîðîñòè è äàâëåíèÿ ïðåäñòàâèì â âèäå ñóìì ñòàöèîíàðíûõ ðå-
øåíèé è âîçìóùåíèé
).,,,()(),,,(
),,,,()(),,,(
0
0
tzyxPzPtzyxP
tzyxvzvtzyxv
¢
+=
¢
+
=
r
r
r
(1.16)
Îòìåòèì, ÷òî â îòëè÷èå îò èññëåäóåìîãî ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ,
ñëàãàåìûå ñî øòðèõàìè îïèñûâàþò âîçìóùåíèÿ, êîòîðûå ìîãóò çàâèñåòü
îò âðåìåíè è îò âñåõ êîîðäèíàò. Ââåäåííûå ðàçëîæåíèÿ ïîäñòàâëÿþòñÿ â
èñõîäíûå óðàâíåíèÿ
( ) ( )
( ) ( )
0divdiv
11
0
000000
=
¢
+
¢
D+D+
¢
Ñ--Ñ=
¢
Ñ
¢
+Ñ
¢
+
¢
Ñ+Ñ+
¢
vv
v
R
v
R
PPvvvvvvvv
t
v
rr
rrrrrrrrrr
r
(1.17)
è, ïîñëå âû÷èòàíèÿ èç íèõ óðàâíåíèé äëÿ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé
(1.15), ïîëó÷àåì
( )
(
)
(
)
.
0
div
,
1
00
=
¢
¢
D+
¢
-Ñ=
¢
Ñ
¢
+Ñ
¢
+
¢
Ñ+
¢
v
v
R
Pvvvvvv
t
v
r
rrrrrrr
r
(1.18)
Íàèáîëüøèå òðóäíîñòè â ðåøåíèè ýòèõ óðàâíåíèé ïðåäñòàâëÿåò íå-
ëèíåéíîå ïî èñêîìûì âîçìóùåíèÿì ñëàãàåìîå vv
¢
¢
r
r
)( . Ñëåäóþùèé, ïðèí-
öèïèàëüíûé øàã ñîñòîèò â òîì, ÷òî ýòî ñëàãàåìîå îòáðàñûâàåòñÿ. Òåì ñà-
ìûì ìû îãðàíè÷èâàåì ñåáÿ ðàìêàìè ëèíåéíîé òåîðèè óñòîé÷èâîñòè, ðàñ-
ñìàòðèâàþùåé ýâîëþöèþ ìàëûõ âîçìóùåíèé. Ýòî çíà÷èò, ÷òî
||||
0
vv
r
r
<<
¢
.
Ëèíåéíàÿ òåîðèÿ ðàáîòàåò òîëüêî âáëèçè ïîðîãà âîçíèêíîâåíèÿ íå-
óñòîé÷èâîñòè. Ïî ïðîõîæäåíèþ ïîðîãà, âîçìóùåíèÿ íàðàñòàþò è ëèíåé-
íûå óðàâíåíèÿ ïåðåñòàþò ðàáîòàòü. Òåì íå ìåíåå, ïîñòàâëåííàÿ çàäà÷à ïðè
ýòîì ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ âûïîëíåííîé, òàê êàê òðåáîâàëîñü óêàçàòü èìåííî
ñàì ïîðîã è íàèáîëåå îïàñíûå âîçìóùåíèÿ, êîòîðûå íà÷èíàþò íàðàñòàòü â
ïåðâóþ î÷åðåäü.
Îòêàçàâøèñü îò íàïèñàíèÿ øòðèõîâ, ìû ïðèäåì ê ñèñòåìå óðàâíåíèé,
êîòîðóþ íåîáõîäèìî äîïîëíèòü ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè äëÿ âîçìóùåíèé.
Íàïðèìåð, ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî íà ãðàíèöàõ âîçìóùåíèÿ ðàâíû íó-
ëþ.
22




     Ï îëÿ ñêîðîñòè è äàâëåíèÿ ïðåäñòàâèì â âèäå ñóìì ñòàöèîíàðíûõ ðå-
ø åíèé è âîçìóù åíèé
     r                  r           r
     v ( x, y, z, t ) = v 0 ( z ) + v ¢( x, y, z, t ),
                                                                     (1.16)
     P ( x, y, z, t ) = P0 ( z ) + P ¢( x, y, z, t ).

     Îòìåòèì, ÷òî â îòëè÷èå îò èññëåäóåìîãî ñòàöèîíàðíîãî ðåø åíèÿ,
ñëàãàåìûå ñî ø òðèõàìè îïèñûâàþ ò âîçìóù åíèÿ, êîòîðûå ìîãóò çàâèñåòü
îò âðåìåíè è îò âñåõ êîîðäèíàò. Ââåäåííûå ðàçëîæåíèÿ ïîäñòàâëÿþ òñÿ â
èñõîäíûåóðàâíåíèÿ
       r
     ¶v ¢ r r
         + (v0 Ñ )v0 + (v0 Ñ )v ¢+ (v ¢Ñ )v 0 + (v ¢Ñ )v ¢ = - Ñ P0 - Ñ P ¢+ Dv0 + Dv ¢
                        r r r r                  r r                        1 r 1 r
      ¶t                                                                    R     R       (1.17)
         r        r
     div v0 + div v ¢= 0

      è, ïîñëå âû÷èòàíèÿ èç íèõ óðàâíåíèé äëÿ ñòàöèîíàðíûõ ðåø åíèé
(1.15), ïîëó÷àåì
       r
     ¶v ¢ r r r r
         + (v0 Ñ )v ¢+ (v ¢Ñ )v0 + (v ¢Ñ )v ¢ = - Ñ P ¢+ Dv ¢,
                                    r r                 1 r
      ¶t                                                R                     (1.18)
         r
     div v ¢= 0.

     Í àèáîëüø èå òðóäíîñòè â ðåø åíèè ýòèõ óðàâíåíèé ïðåäñòàâëÿåò íå-
                                               r r
ëèíåéíîå ïî èñêîìûì âîçìóù åíèÿì ñëàãàåìîå (v ¢Ñ )v ¢. Ñëåäóþ ù èé, ïðèí-
öèïèàëüíûé ø àã ñîñòîèò â òîì, ÷òî ýòî ñëàãàåìîå îòáðàñûâàåòñÿ. Òåì ñà-
ìûì ìû îãðàíè÷èâàåì ñåáÿ ðàìêàìè ëèíåéíîé òåîðèè óñòîé÷èâîñòè, ðàñ-
ñìàòðèâàþ ù åé ýâîëþ öèþ ìàëûõ âîçìóù åíèé. Ýòî çíà÷èò, ÷òî
       r         r
     | v ¢| << | v0 | .

     Ëèíåéíàÿ òåîðèÿ ðàáîòàåò òîëüêî âáëèçè ïîðîãà âîçíèêíîâåíèÿ íå-
óñòîé÷èâîñòè. Ï î ïðîõîæäåíèþ ïîðîãà, âîçìóù åíèÿ íàðàñòàþ ò è ëèíåé-
íûå óðàâíåíèÿ ïåðåñòàþ ò ðàáîòàòü. Òåì íå ìåíåå, ïîñòàâëåííàÿ çàäà÷à ïðè
ýòîì ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ âûïîëíåííîé, òàê êàê òðåáîâàëîñü óêàçàòü èìåííî
ñàì ïîðîã è íàèáîëåå îïàñíûå âîçìóù åíèÿ, êîòîðûå íà÷èíàþ ò íàðàñòàòü â
ïåðâóþ î÷åðåäü.
     Îòêàçàâø èñü îò íàïèñàíèÿ ø òðèõîâ, ìû ïðèäåì ê ñèñòåìå óðàâíåíèé,
êîòîðóþ íåîáõîäèìî äîïîëíèòü ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè äëÿ âîçìóù åíèé.
Í àïðèìåð, ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî íà ãðàíèöàõ âîçìóù åíèÿ ðàâíû íó-
ëþ .

Страницы