Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

24
íåñæèìàåìîé æèäêîñòè. Ñëåäóþùèé øàã òàêæå ÿâëÿåòñÿ îáùåïðèíÿòûì -
äëÿ òîãî, ÷òîáû èçáàâèòüñÿ îò äàâëåíèÿ è ïîëó÷èòü îäíî óðàâíåíèå äëÿ
ôóíêöèè òîêà, íåîáõîäèìî âòîðîå óðàâíåíèå ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü ïî êî-
îðäèíàòå
x
è âû÷åñòü èç íåãî ïåðâîå, ïðîäèôôåðåíöèðîâàííîå ïî êîîðäè-
íàòå
z
. Ðåçóëüòèðóþùåå óðàâíåíèå åñòü
.
1
2
2
2
222
2
2
0
0
2
2
0
2
0
2
0
2
2
2
0
2
2
2
2
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
D+
+
=
+
+
-
-
+
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
zx
Rzx
P
zx
P
x
x
v
x
v
zx
z
v
xz
v
zxz
v
zx
z
x
v
xz
t
yy
yyyyyyyy
Ñîêðàùàÿ ïîäîáíûå ÷ëåíû è ó÷èòûâàÿ, ÷òî 0
0
= xv , ïðèõîäèì ê óðàâíå-
íèþ
y
y
yy DD=
²
-D
+D
R
x
v
x
v
t
1
00
, (1.20)
êîòîðîå äîïîëíÿåòñÿ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè äëÿ ôóíêöèè òîêà:
0:1ïðè =
=
±=
z
x
z
yy
Íàïîìíèì, ÷òî ôóíêöèÿ òîêà ââåäåíà äëÿ âîçìóùåíèé ïîëÿ ñêîðîñòè, âîç-
íèêàþùèõ íà ôîíå ñòàöèîíàðíîãî òå÷åíèÿ
0
v
r
. Øòðèõàìè îáîçíà÷åíî äèô-
ôåðåíöèðîâàíèå ïî âåðòèêàëüíîé êîîðäèíàòå
z
.
Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå (1.20) ìîæíî ðåøàòü ÷èñëåííî, çàäàâàÿ ðàç-
ëè÷íûå íà÷àëüíûå âîçìóùåíèÿ è íàáëþäàÿ çà èõ ýâîëþöèåé ïðè ðàçëè÷-
íûõ ÷èñëàõ Ðåéíîëüäñà. Ýòîò ïóòü íå ñíèìàåò, îäíàêî, âîïðîñà î âûáîðå
âèäà âîçìóùåíèé. Ñëåäóÿ îáû÷íîìó äëÿ òåîðèè óñòîé÷èâîñòè ñïîñîáó, áó-
äåì ðàññìàòðèâàòü íîðìàëüíûå âîçìóùåíèÿ, òî åñòü âîçìóùåíèÿ âèäà
(
)
(
)
(
)
kxti
eztzx
-
=
w
jy ,, . (1.21)
Ïðè ýòî ôàêòè÷åñêè ìû ïðîâåëè
ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ, âêëþ÷èâ
çàâèñèìîñòü îò âåðòèêàëüíîé êî-
îðäèíàòû
z
òîëüêî â àìïëèòóäó
âîçìóùåíèé
. Çàâèñèìîñòü îò
ïðîäîëüíîé êîîðäèíàòû è âðåìå-
íè ïðèíÿòà â âèäå ãàðìîíè÷åñêèõ
âîëí, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ âäîëü
îñè
x
(
w
- ÷àñòîòà, k - âîëíîâîå
Ðèñ.
1.8.
24



íåñæèìàåìîé æèäêîñòè. Ñëåäóþ ù èé ø àã òàêæå ÿâëÿåòñÿ îáù åïðèíÿòûì -
äëÿ òîãî, ÷òîáû èçáàâèòüñÿ îò äàâëåíèÿ è ïîëó÷èòü îäíî óðàâíåíèå äëÿ
ôóíêöèè òîêà, íåîáõîäèìî âòîðîå óðàâíåíèå ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü ïî êî-
îðäèíàòå x è âû÷åñòü èç íåãî ïåðâîå, ïðîäèôôåðåíöèðîâàííîå ïî êîîðäè-
íàòå z . Ðåçóëüòèðóþ ù ååóðàâíåíèå åñòü

       ¶ æ¶2y      ¶2y    ö     ¶ ¶2y   ¶2y ¶v0 ¶2y ¶v0 ¶y ¶2 v0 ¶2y ¶v 0       ¶ ¶2y
          ç      +        ÷ + v       +        -       -        +         + v           =
       ¶t ç
          è ¶z     ¶x 2   ÷ 0 ¶x ¶z 2 ¶x¶z ¶z ¶x¶z ¶z    ¶x ¶z 2 ¶x¶z ¶x        ¶x ¶x 2
               2                                                              0
                          ø
       ¶2 P ¶2 P 1 æ¶2y     ¶2y        ö
           +    + Dç      +            ÷
                                       ÷.
       ¶x¶z ¶x¶z R ç
                   è ¶x
                        2
                            ¶z 2       ø

Ñîêðàù àÿ ïîäîáíûå ÷ëåíû è ó÷èòûâàÿ, ÷òî ¶v0 ¶x = 0 , ïðèõîäèì ê óðàâíå-
íèþ

                               ¶         ¶        ² ¶y  1
                                  Dy + v0 Dy - v0      = DDy ,                         (1.20)
                               ¶t        ¶x         ¶x R

êîòîðîå äîïîëíÿåòñÿãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè äëÿ ôóíêöèè òîêà:

                                                       ¶y   ¶y
                                  ïðè z = ±1 :            =    =0
                                                       ¶x   ¶z

Í àïîìíèì, ÷òî ôóíêöèÿ òîêà ââåäåíà äëÿ âîçìóù åíèé ïîëÿ ñêîðîñòè, âîç-
                                         r
íèêàþ ù èõ íà ôîíå ñòàöèîíàðíîãî òå÷åíèÿ v0 . Ø òðèõàìè îáîçíà÷åíî äèô-
ôåðåíöèðîâàíèå ïî âåðòèêàëüíîé êîîðäèíàòå z .
     Ï îëó÷åííîå óðàâíåíèå (1.20) ìîæíî ðåø àòü ÷èñëåííî, çàäàâàÿ ðàç-
ëè÷íûå íà÷àëüíûå âîçìóù åíèÿ è íàáëþäàÿ çà èõ ýâîëþ öèåé ïðè ðàçëè÷-
íûõ ÷èñëàõ Ðåéíîëüäñà. Ýòîò ïóòü íå ñíèìàåò, îäíàêî, âîïðîñà î âûáîðå
âèäà âîçìóù åíèé. Ñëåäóÿ îáû÷íîìó äëÿ òåîðèè óñòîé÷èâîñòè ñïîñîáó, áó-
äåì ðàññìàòðèâàòü íîðìàëüíûå âîçìóù åíèÿ, òî åñòü âîçìóù åíèÿ âèäà

                                      y ( x, z, t )= j ( z )e i (w t - kx ).           (1.21)

                                                            Ï ðè ýòî ôàêòè÷åñêè ìû ïðîâåëè
                                                            ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ, âêëþ ÷èâ
                                                            çàâèñèìîñòü îò âåðòèêàëüíîé êî-
                                                            îðäèíàòû z òîëüêî â àìïëèòóäó
                                                            âîçìóù åíèé j . Çàâèñèìîñòü îò
                                                            ïðîäîëüíîé êîîðäèíàòû è âðåìå-
                                                            íè ïðèíÿòà â âèäå ãàðìîíè÷åñêèõ
                                                            âîëí, ðàñïðîñòðàíÿþ ù èõñÿ âäîëü
                   Ðèñ. 1.8.                                îñè x ( w - ÷àñòîòà, k - âîëíîâîå

Страницы