Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

25
÷èñëî). ×àñòîòà ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíîé êîìïëåêñíîé: iba
+
=
w
, ÷òî ïîçâîëÿåò
ïåðåïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ íîðìàëüíûõ âîçìóùåíèé â âèäå
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
kxatibtkxti
eezeztzx
---
= jjy
w
,, .
Õàðàêòåð ýâîëþöèè êîëåáàíèé âî âðåìåíè îïðåäåëÿåòñÿ ìíèìîé ÷à-
ñòüþ ÷àñòîòû: åñëè 0
>
b , òî âîçìóùåíèÿ óáûâàþò ñî âðåìåíåì, à åñëè 0
<
b ,
òî âîçìóùåíèÿ íàðàñòàþò (ñì. ðèñ.1.8). Èìåííî çíàê âåëè÷èíû b è èíòåðå-
ñåí ñ òî÷êè çðåíèÿ âîïðîñà îá óñòîé÷èâîñòè òå÷åíèÿ. Òðåáóåòñÿ óçíàòü, ïðè
êàêîì çíà÷åíèè ÷èñëà Ðåéíîëüäñà ïîÿâëÿåòñÿ ðåøåíèå ñ îòðèöàòåëüíûì b
è êàêîå âîëíîâîå ÷èñëî k ñîîòâåòñòâóåò ýòîìó ðåøåíèþ.
Âîçìóùåíèÿ â íîðìàëüíîé ôîðìå ïîäñòàâëÿþòñÿ òåïåðü â óðàâíåíèå
äëÿ ôóíêöèè òîêà. Ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîèçâîäíûå îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìó-
ëàìè:
,,,
)( kxti
å
z
ik
x
i
t
-
¢
=
-=
=
w
j
y
wy
( )
( )
,
2
2
2
2
2
kxti
ek
z
x
-
-
¢¢
=
+
=D
w
jj
yy
y
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
.2
42222 kxtiIVkxtiIV
ekkekkk
--
+
¢¢
-=-
¢¢
-
¢¢
-=DD
ww
jjjjjjjy
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè ïîëó÷àåì
( ) ( ) ( )
( )
kxtiIV
ekk
R
ikvkikvki
-
ú
û
ù
ê
ë
é
+
¢¢
-=
²
+-
¢¢
--
¢¢
w
jjjjjjjjw
42
0
2
0
2
2
1
( )
(
)
(
)
jjjjjjw
42
0
2
0
2
1
kk
R
ikvkikvi
IV
+
¢¢
-=
²
+-
¢¢
- ,
à ïîñëå äåëåíèÿ íà ik è äîáàâëåíèÿ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ïðèõîäèì ê îêîí-
÷àòåëüíîé ôîðìå óðàâíåíèÿ, íàçûâàåìîãî óðàâíåíèåì Îððà-Çîììåðôåëüäà
(1937ã.):
( ) ( )
.
,kk
kR
i
vk
k
v
zz
IV
00
2
11
42
0
2
0
=
¢
=
+
¢¢
-=
²
--
¢¢
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
±=±=
jj
jjjjjj
w
(1.22)
Çàäà÷à îñòàåòñÿ ÷ðåçâû÷àéíî ñëîæíîé è âïåðâûå äëÿ ïëîñêîãî ñëîÿ
áûëà ðåøåíà òîëüêî â 1945 ã. Ëèíåì. Ïîó÷èòåëüíà èñòîðèÿ ðåøåíèÿ ýòîãî
óðàâíåíèÿ. Ïåðâûå ïîäõîäû áûëè ñâÿçàíû ñ ïîïûòêàìè ðåøàòü óðàâíåíèå
Îððà-Çîììåðôåëüäà ñ îòáðîøåííîé ïðàâîé ÷àñòüþ. Ñîîòâåòñòâóþùåå
                                                                                                                   25



÷èñëî). ×àñòîòà ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíîé êîìïëåêñíîé: w = a + ib , ÷òî ïîçâîëÿåò
ïåðåïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ íîðìàëüíûõ âîçìóù åíèé â âèäå

                               y ( x, z, t )j ( z )e i (w t - kx ) = j ( z )e - bt e i ( at - kx ) .

      Õàðàêòåð ýâîëþ öèè êîëåáàíèé âî âðåìåíè îïðåäåëÿåòñÿ ìíèìîé ÷à-
ñòüþ ÷àñòîòû: åñëè b > 0 , òî âîçìóù åíèÿ óáûâàþò ñî âðåìåíåì, à åñëè b < 0 ,
òî âîçìóù åíèÿ íàðàñòàþ ò (ñì. ðèñ.1.8). È ìåííî çíàê âåëè÷èíû b è èíòåðå-
ñåí ñ òî÷êè çðåíèÿ âîïðîñà îá óñòîé÷èâîñòè òå÷åíèÿ. Òðåáóåòñÿ óçíàòü, ïðè
êàêîì çíà÷åíèè ÷èñëà Ðåéíîëüäñà ïîÿâëÿåòñÿ ðåø åíèå ñ îòðèöàòåëüíûì b
è êàêîå âîëíîâîå ÷èñëî k ñîîòâåòñòâóåò ýòîìó ðåø åíèþ .
      Âîçìóù åíèÿ â íîðìàëüíîé ôîðìå ïîäñòàâëÿþòñÿ òåïåðü â óðàâíåíèå
äëÿ ôóíêöèè òîêà. Ñîîòâåòñòâóþ ù èå ïðîèçâîäíûå îïðåäåëÿþ òñÿ ôîðìó-
ëàìè:

                            ¶y                    ¶y                        ¶y
                                = iwy ,              = - iky ,                 = j ¢åi (w t - kx ) ,
                             ¶t                   ¶x                        ¶z

                                   ¶2y  ¶2y
                               Dy = 2 +
                                   ¶x   ¶z 2
                                                                    (
                                             = j ¢¢- k 2j e i (w t - kx ),           )

                    [                       (                )]                  (
          DDy = j IV - k 2j ¢¢- k 2 j ¢¢- k 2j e i (w t - kx ) = j IV - 2k 2j ¢¢+ k 4j e i (w t - kx ).    )
Ï îñëå ïîäñòàíîâêè ïîëó÷àåì

          é
              (       2
                           )          (  2        ²
                                                       )1 IV
          êiw j ¢¢- k j - ikv0 j ¢¢- k j + ikv0 j = R j - 2k j ¢¢+ k j úe
                                                                    2        4
                                                                                 (
                                                                                ù i (w t - kx )
                                                                                                           )
          ë                                                                     û
                                  (                )                         (
                   (iw - ikv0 )j ¢¢- k 2j + ikv0 ²j = 1 j IV - 2k 2j ¢¢+ k 4j ,
                                                      R
                                                                                                       )

à ïîñëå äåëåíèÿ íà ik è äîáàâëåíèÿ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ïðèõîäèì ê îêîí-
÷àòåëüíîé ôîðìå óðàâíåíèÿ, íàçûâàåìîãî óðàâíåíèåì Îððà-Çîììåðôåëüäà
(1937ã.):

                           wö
                  çv 0 - ÷(j ¢¢- k j )- v 0 j =    (j IV - 2k 2j ¢¢+ k 4j ),
                  æ                   2       ²  i
                  è        kø                   kR                                                             (1.22)
                  j z = ±1 = 0 j ¢z = ±1 = 0.

     Çàäà÷à îñòàåòñÿ ÷ðåçâû÷àéíî ñëîæíîé è âïåðâûå äëÿ ïëîñêîãî ñëîÿ
áûëà ðåø åíà òîëüêî â 1945 ã. Ëèíåì. Ï îó÷èòåëüíà èñòîðèÿ ðåø åíèÿ ýòîãî
óðàâíåíèÿ. Ï åðâûå ïîäõîäû áûëè ñâÿçàíû ñ ïîïûòêàìè ðåø àòü óðàâíåíèå
Îððà-Çîììåðôåëüäà ñ îòáðîø åííîé ïðàâîé ÷àñòüþ. Ñîîòâåòñòâóþ ù åå

Страницы