Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

27
íèå äàåò âîäà â èíòåðâàëå îò 0 äî
î
4
Ñ). Ñ÷èòàåì, ÷òî íåîäíîðîäíîñòü òåì-
ïåðàòóðû ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì èñòî÷íèêîì äâèæåíèÿ è ÷òî
r
r
<<
D
,
ò.å. ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëàáàÿ êîíâåêöèÿ. Â óðàâíåíèè äâèæåíèÿ ïîÿâ-
ëÿåòñÿ ñëàãàåìîå, îïèñûâàþùåå äåéñòâèå ñèëû òÿæåñòè
( )
gvPvv
t
v rrrr
r
rhr +D+-Ñ=
ú
û
ù
ê
ë
é
Ñ+
è íóæíî ó÷åñòü èçìåíåíèÿ ïëîòíîñòè. Ïîñëåäíÿÿ â îáùåì ñëó÷àå åñòü
ôóíêöèÿ òåìïåðàòóðû è äàâëåíèÿ
(
)
PT,rr = , à ïðèðàùåíèå ïëîòíîñòè åñòü
dP
P
dT
T
d
TP
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
rr
r .
Äàëåå äåëàåòñÿ âàæíîå îãðàíè÷åíèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ðàññìàòðèâàåòñÿ
íåñæèìàåìàÿ æèäêîñòü, îçíà÷àþùåå ÷òî âòîðûì ñëàãàåìûì â ýòîì ðàâåí-
ñòâå ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Òàêèì îáðàçîì, ïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïëîòíîñòü çàâèñèò
òîëüêî îò òåìïåðàòóðû:
(
)
Trr = , à ïðèðàùåíèå ïëîòíîñòè åñòü
dTdT
T
d
00
0
1
brr
r
r
r -=
÷
ø
ö
ç
è
æ
= .
Çäåñü
b
- êîýôôèöèåíò îáúåìíîãî ðàñøèðåíèÿ. Òåìïåðàòóðó æèäêî-
ñòè ïðåäñòàâèì â âèäå
TTT
¢
+=
0
, (1.23)
ãäå
0
T - ñðåäíÿÿ òåìïåðàòóðà, à
¢
- âàðèàöèè òåìïåðàòóðû, ìàëûå â òîì
ñìûñëå, ÷òî âûçûâàåìûå èìè âàðèàöèè ïëîòíîñòè îñòàþòñÿ ìàëûìè
(
r
r
<<
D
). Ïëîòíîñòü ïðåäñòàâëÿåòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, â âèäå
(
)
Trrr
¢
+=
0
,
ãäå
0
r - ïëîòíîñòü æèäêîñòè ïðè òåìïåðàòóðå
0
T . Èç ñêàçàííîãî âûøå ñëå-
äóåò, ÷òî
T
¢
-=
¢
brr
0
èëè
(
)
T
¢
-= brr 1
0
. (1.24)
Ïðèíÿòîå îãðàíè÷åíèå ñëàáîé êîíâåêöèè ïðåäïîëàãàåò, ÷òî 1
<<
¢
T
b
.
Âñïîìíèì, ÷òî äëÿ âîäû
4
102
-
×=b , è ñëåäîâàòåëüíî ïðèáëèæåíèå ãîäèòñÿ
                                                                              27



íèå äàåò âîäà â èíòåðâàëå îò 0 äî 4î Ñ). Ñ÷èòàåì, ÷òî íåîäíîðîäíîñòü òåì-
ïåðàòóðû ÿâëÿåòñÿåäèíñòâåííûì èñòî÷íèêîì äâèæåíèÿ è ÷òî

      Dr << r ,

     ò.å. ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëàáàÿ êîíâåêöèÿ. Â óðàâíåíèè äâèæåíèÿ ïîÿâ-
ëÿåòñÿñëàãàåìîå, îïèñûâàþ ù ååäåéñòâèå ñèëû òÿæåñòè
          r
        é¶v r rù                  r    r
      r ê + (v Ñ )v ú = - Ñ P + hDv + rg
        ë¶t         û

    è íóæíî ó÷åñòü èçìåíåíèÿ ïëîòíîñòè. Ï îñëåäíÿÿ â îáù åì ñëó÷àå åñòü
ôóíêöèÿ òåìïåðàòóðû è äàâëåíèÿ r = r (T , P ), à ïðèðàù åíèå ïëîòíîñòè åñòü

                                      æ ¶r ö   æ¶r ö
                                 dr = ç ÷ dT + ç ÷ dP .
                                      è¶T øP   è¶P øT

Äàëåå äåëàåòñÿ âàæíîå îãðàíè÷åíèå, ñîñòîÿù åå â òîì, ÷òî ðàññìàòðèâàåòñÿ
íåñæèìàåìàÿ æèäêîñòü, îçíà÷àþ ù åå ÷òî âòîðûì ñëàãàåìûì â ýòîì ðàâåí-
ñòâå ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Òàêèì îáðàçîì, ïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïëîòíîñòü çàâèñèò
òîëüêî îò òåìïåðàòóðû: r = r (T ), à ïðèðàù åíèå ïëîòíîñòè åñòü

                                      1 æ ¶r ö
                               dr =       ç ÷r 0 dT = - br 0 dT .
                                      r 0 è¶T ø

     Çäåñü b - êîýôôèöèåíò îáúåìíîãî ðàñø èðåíèÿ. Òåìïåðàòóðó æèäêî-
ñòè ïðåäñòàâèì â âèäå
                            T = T0 + T ¢,                      (1.23)

ãäå T0 - ñðåäíÿÿ òåìïåðàòóðà, à T ¢- âàðèàöèè òåìïåðàòóðû, ìàëûå â òîì
ñìûñëå, ÷òî âûçûâàåìûå èìè âàðèàöèè ïëîòíîñòè îñòàþòñÿ ìàëûìè
( Dr << r ). Ï ëîòíîñòü ïðåäñòàâëÿåòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, â âèäå r = r0 + r¢(T ) ,
ãäå r 0 - ïëîòíîñòü æèäêîñòè ïðè òåìïåðàòóðå T0 . È ç ñêàçàííîãî âûøå ñëå-
äóåò, ÷òî

                                           r ¢= - r 0 bT ¢
èëè
                                      r = r 0 (1 - bT ¢).                 (1.24)

Ï ðèíÿòîå îãðàíè÷åíèå ñëàáîé êîíâåêöèè ïðåäïîëàãàåò, ÷òî bT ¢<< 1 .
Âñïîìíèì, ÷òî äëÿ âîäû b = 2 ×10 - 4 , è ñëåäîâàòåëüíî ïðèáëèæåíèå ãîäèòñÿ

Страницы