Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 28 стр.

28



ïðàêòè÷åñêè äëÿ ëþáûõ âîçìîæíûõ ðàçíîñòåé òåìïåðàòóðû. Äëÿ ãàçîâ
b » 1 273 , ÷òî ñóù åñòâåííî áîëüø å, íî òàêæå ïîçâîëÿåò ïîëüçîâàòüñÿ ïðèíÿ-
òûìè îãðàíè÷åíèÿìè ïðè äîñòàòî÷íî áîëüø èõ ðàçíîñòÿõ òåìïåðàòóðû.
       È çîòåðìè÷åñêîé æèäêîñòè ñ òåìïåðàòóðîé T = T0 è ñîîòâåòñòâóþ ù åé
ýòîé òåìïåðàòóðå ïëîòíîñòüþ r = r 0 îòâå÷àåò ãèäðîñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå
P0 , ïîä÷èíÿþ ù ååñÿ óðàâíåíèþ

                                                   r
                                         Ñ P0 = r0 g .

     Ï îëå äàâëåíèÿ, óñòàíàâëèâàþ ù ååñÿ ïðè êîíâåêòèâíîì äâèæåíèè,
ïðåäñòàâèì â âèäåñóììû
                              P = P0 + P¢.

Ï îäñòàâëÿÿ â óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ âñåââåäåííûåðàçëîæåíèÿ, ïîëó÷àåì
                             r
                           é¶v r rù
                ( r0 + r ¢)ê + (v Ñ )v ú = - Ñ P0 - Ñ P ¢+ hDvr + r0 gr + r ¢gr ,
                           ë¶t         û
                               ¶r  ¢           r         r
                                    + r 0 div v + div r ¢v = 0 .
                                ¶t

Òåïåðü íóæíî âû÷åñòü èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ óðàâíåíèå ãèäðîñòàòèêè è
ñäåëàòü ñàìîå âàæíîå äîïóù åíèå. Îíî ñîñòîèò â òîì, ÷òî äîáàâêîé ê ïëîò-
íîñòè r ¢, âîçíèêàþ ù åé çà ñ÷åò èçìåíåíèÿ òåìïåðàòóðû, ïðåíåáðåãàþ ò âñþ -
äó, çàèñêëþ ÷åíèåì ÷ëåíà, îïèñûâàþ ù åãî ñèëó Àðõèìåäà. Òîãäà
                                  r
                                é¶v r rù                   r       r
                             r0 ê + (v Ñ )v ú = - Ñ P ¢+ hDv - bT ¢g .
                                ë¶t         û

     Ñèñòåìó íåîáõîäèìî äîïîëíèòü óðàâíåíèåì äëÿ òåìïåðàòóðû. Åñëè
ïðåíåáðå÷ü íàãðåâîì æèäêîñòè çà ñ÷åò âÿçêîé äèññèïàöèè, òî çàêîí ïåðå-
íîñà óäåëüíîé ýíåðãèè çàïèñûâàåòñÿ â âèäå

                                     é¶S r       ù
                                  rT ê + (v Ñ )S ú = kDT ,
                                     ë ¶t        û

ãäå k - êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè, à ýíòðîïèÿ S ñâÿçàíà ñ òåìïåðàòó-
ðîé è äàâëåíèåì
                                        æ ¶S ö   æ ¶S ö
                              S = S 0 + ç ÷ T ¢+ ç ÷ P ¢.
                                        è¶T øP   è¶P øT

È ñïîëüçóÿñîîòíîø åíèå