Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

23
( ) ( )
.0
,0div
,
1
00
=
=
D+-Ñ=Ñ+Ñ+
Ã
v
v
v
R
Pvvvv
t
v
r
r
rrrrr
r
(1.19)
Äàëåå äåëàþò åùå ðÿä ñóùåñòâåííûõ óïðîùåíèé. Ïåðâîå ñîñòîèò â
òîì, ÷òî ðàññìàòðèâàþòñÿ òîëüêî ïëîñêèå âîçìóùåíèÿ. Ýòîò øàã îïðàâäû-
âàåòñÿ òåîðåìîé Ñêâàåðà, êîòîðàÿ óòâåðæäàåò, ÷òî ñàìûìè îïàñíûìè ÿâ-
ëÿþòñÿ èìåííî ïëîñêèå âîçìóùåíèÿ. Òàêîå ïðåäïîëîæåíèå îçíà÷àåò, ÷òî
( )
00 =
=
y
v,,vv
zx
è
r
.
Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî
( )
x
vv
=Ñ
00
r
è
( )
z
v
x
vv
zx
+
=Ñ
r
,
óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ îñòàâøèõñÿ äâóõ êîìïîíåíò çàïèøóòñÿ â âè-
äå
,
1
0
0 xz
xx
v
R
x
P
z
v
v
x
v
v
t
v
D+
-=
+
+
,
1
0 z
zz
v
R
z
P
x
v
v
t
v
D+
-=
+
0=
+
z
v
x
v
z
x
.
Ñëåäóþùèé øàã ñîñòîèò â òîì, ÷òî ââîäèòñÿ ôóíêöèÿ òîêà
y
, ñâÿçàííàÿ ñ
êîìïîíåíòàìè âåêòîðà ñêîðîñòè:
x
v
z
v
zx
=
-=
y
y
. Ââåäåíèå ôóíêöèè òîêà
ïîçâîëÿåò óìåíüøèòü ÷èñëî ïåðåìåííûõ. Ïëàòîé çà ýòî ÿâëÿåòñÿ ïîâûøå-
íèå ïîðÿäêà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, êîòîðûå ïðèíèìàþò âèä:
.0
,
1
,
1
22
2
2
0
0
2
0
º
+
-
D+
-=
+
D-
-=
+
-
-
x
z
z
x
xRz
P
x
v
xt
zRx
P
z
v
xzx
v
zt
yy
yyy
yyyy
Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå (ýòî óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè) âûïîëíÿåòñÿ òîæäå-
ñòâåííî. Ýòî íå óäèâèòåëüíî, òàê êàê ôóíêöèÿ òîêà ââîäèòñÿ èìåííî äëÿ
                                                                                                    23


       r
     ¶v r r r r                           1 r
         + (v 0 Ñ )v + (v Ñ )v 0 = - Ñ P + Dv ,
     ¶t                                   R
          r
            =
     div v 0,                                                                  (1.19)
     r
     v à = 0.

      Äàëåå äåëàþ ò åù å ðÿä ñóù åñòâåííûõ óïðîù åíèé. Ï åðâîå ñîñòîèò â
òîì, ÷òî ðàññìàòðèâàþòñÿ òîëüêî ïëîñêèå âîçìóù åíèÿ. Ýòîò ø àã îïðàâäû-
âàåòñÿ òåîðåìîé Ñêâàåðà, êîòîðàÿ óòâåðæäàåò, ÷òî ñàìûìè îïàñíûìè ÿâ-
ëÿþ òñÿ èìåííî ïëîñêèå âîçìóù åíèÿ. Òàêîå ïðåäïîëîæåíèå îçíà÷àåò, ÷òî

     r                     ¶
     v = (v x ,0,v z ) è      = 0.
                           ¶y
     Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî

                    ¶                                        ¶       ¶
     (vr0 Ñ )= v0              è               (vrÑ )= v x      + vz    ,
                    ¶x                                       ¶x      ¶z

     óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ îñòàâø èõñÿ äâóõ êîìïîíåíò çàïèø óòñÿ â âè-
äå

                               ¶v x           ¶v x     ¶v     ¶P 1
                                      +   v0       + vz 0 = -       + Dv x ,
                                ¶t             ¶x       ¶z    ¶x R
                                ¶v z           ¶v      ¶P 1
                                      +   v0 z = -         + Dv z ,
                                 ¶t            ¶x      ¶z R
                               ¶v x       ¶v z
                                     +          = 0.
                               ¶x         ¶z

Ñëåäóþ ù èé ø àã ñîñòîèò â òîì, ÷òî ââîäèòñÿ ôóíêöèÿ òîêà y , ñâÿçàííàÿ ñ
                                                              ¶y            ¶y
êîìïîíåíòàìè âåêòîðà ñêîðîñòè: v x = -                              vz =       . Ââåäåíèå ôóíêöèè òîêà
                                                              ¶z            ¶x
ïîçâîëÿåò óìåíüø èòü ÷èñëî ïåðåìåííûõ. Ï ëàòîé çà ýòî ÿâëÿåòñÿ ïîâûøå-
íèå ïîðÿäêà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, êîòîðûå ïðèíèìàþ ò âèä:

                              ¶ ¶y         ¶2y    ¶y ¶v0    ¶P 1 ¶y
                           -          - v0      +        =-     - D ,
                             ¶t ¶z         ¶x¶z ¶x ¶z       ¶x R ¶z
                             ¶ ¶y          ¶2y     ¶P 1 ¶y
                                     + v0 2 = -       + D     ,
                             ¶t ¶x         ¶x      ¶z R ¶x
                             ¶2y       ¶2y
                           -       +        º 0.
                             ¶x¶z ¶z¶x

Ï îñëåäíåå óðàâíåíèå (ýòî óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè) âûïîëíÿåòñÿ òîæäå-
ñòâåííî. Ýòî íå óäèâèòåëüíî, òàê êàê ôóíêöèÿ òîêà ââîäèòñÿ èìåííî äëÿ

Страницы